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Gravitationsfelder II

Einleitung

In dem ersten Teil über Gravitationsfelder wurden die Gravitationskraft und die Gravitationsbeschleunigung erklärt. Im zweiten Teil geht es um die Arbeit, Energie und die Bewegung von Körpern im Gravitationsfeld.

Arbeit \( W \)

Aus der Mittelstufe ist bereits die mechanische Arbeit bekannt. Diese wird verrichtet, wenn eine Kraft \( F \) längs eines Weges \( s \) auf einen Körper wirkt. Es gilt:

$$ W = F \cdot s $$
\( F \) = Kraft, \( s \) = Weg

Auch bei der Bewegung von Körpern in einem Gravitationsfeld, sei es durch äußere Einflüsse oder durch die Gravitationskraft selbst, wird Arbeit verrichtet. Es ist jedoch zu beachten, dass als Weg \( s \) dabei der Weg parallel zu den Feldlinien bezeichnet wird. Beim Verschieben eines Körpers entlang der Feldlinien wird also viel Arbeit verrichtet, beim Verschieben senkrecht zu den Feldlinien hingegen wird keine Arbeit verrichtet.

Arbeit in homogenen Feldern

Für homogene Felder kann man die folgende Formel verwenden.

$$ W = F \cdot s = m \cdot g \cdot s $$ \( m \) = Masse des Körpers, \( g \) = Erdbeschleunigung, \( s \) = Weg parallel zu den Feldlinien

Die folgende Animation zeigt 3 Körper (\( m_1 = m_2 = m_3 = 1 \rm kg \)) in einem homogenen Feld und zeigt den Weg parallel zu den Feldlinien.

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Körper 2 und 3 legen zwar unterschiedlich lange Strecken zurück, der Anteil parallel zu den Feldlinien ist jedoch gleich, daher ist der Betrag der verrichteten Arbeit auch gleich. Körper 1 bewegt sich senkrecht zu den Feldlinien, d.h. der Weg parallel zu den Feldlinien ist 0, es wird keine Arbeit verrichtet.

Arbeit in inhomogenen Feldern

Bei inhomogenen Feldern gestaltet sich die Berechnung der Arbeit schwieriger, da die Gravitationskraft während der Bewegung nicht konstant ist.

Bei einem radialen Gravitationsfeld hängt die Gravitationskraft von dem Abstand \( r \) ab. Man kann die Arbeit ermitteln, indem man über der Gravitationskraft integriert:

$$ W = \int \limits_{r_1}^{r_2} F(r) \,\,\mathrm{d}r $$ Setzt man nun die Gravitationskraft ein, erhält man:

$$ W = G \cdot m_1 \cdot m_2 \cdot \int \limits_{r_1}^{r_2} \dfrac{1}{r^2} \,\, \mathrm{d}r = G \cdot m_1 \cdot m_2 \cdot \left( \dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2} \right) $$ \( m_1, m_2 \) = Massen der Körper,
\( r_1 \) = Abstand bei Ausgangsposition, \( r_2 \) = Abstand bei Endposition

Die folgende Animation zeigt 2 Körper (\( m_1 = m_2 = 1 \,\, \rm kg \)) in einem inhomogenen Feld und zeigt den Weg parallel zu den Feldlinien.

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Man erkennt hier auch gut, dass die verrichtete Arbeit nur vom Ausgangs- und Endpunkt bestimmt wird. Ob sich die Ladungen dabei gradlinig oder mit vielen Kurven bewegen ist nicht von Bedeutung.

Potentielle Energie \( E_{pot} \)

Auch die potentielle Energie ist aus der Mittelstufe bekannt. Im Gravitationsfeld der Erde ist sie umso größer, je höher der Körper über der Erdoberfläche ist.

Die folgende Animation zeigt die potentiellen Energie im homogenen Gravitationsfeld in der Nähe der Erdoberfläche.

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Bei dem Gravitationsfeld ist normalerweise festgelegt, dass die potentielle Energie an der Erdoberfläche 0 ist. Hebt man nun einen Körper um eine bestimmte Höhe an, so ist die dabei verrichtete Arbeit in der potentiellen Energie des Körpers gespeichert.

Potentielle Energie in inhomogenen Feldern

Bei einem inhomogenen Gravitationsfeld um einen Massepunkt herum, wird meist festgelegt, dass die potentielle Energie in unendlicher Entfernung von dem Massepunkt gleich 0 ist.

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$$ E_{pot} = \Delta W = G \cdot m_1 \cdot m_2 \cdot \left( \dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2} \right) = G \cdot m_1 \cdot m_2 \cdot \left( \dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{\infty} \right) = G \cdot m_1 \cdot m_2 \cdot \dfrac{1}{r_1} $$

Quellen

Literatur

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