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Keplersche Gesetze

Einleitung

Der Astronom und Naturphilosoph Johannes Kepler veröffentlichte seine Erkenntnisse über die Planetenbahnen in drei Gesetzen, den sogenannten Kepler'schen Gesetzen.

Nach älteren Theorien von Ptolemäus und Kopernikus bewegten sich die Planeten auf ineinandergeschachtelten Kreisbahnen. Kepler hat herausgefunden, dass sich die Planeten auf ellipsenförmigen Bahnen bewegen.

Kurzinformation zu Ellipsen

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Eine Ellipse ist eine spezielle geschlossene ovale Kurve.

Die beiden Punkte \( F_1 \) und \( F_2 \) sind die Brennpunkte der Ellipse. Für jeden beliebigen Punkt auf der Ellipse ist die Summe der beiden Abstände zu den beiden Brennpunkten konstant.

Die Achse durch die beiden Brennpunkte heißt Hauptachse und wird durch den Mittelpunkt \( M \) in seine zwei großen Halbachsen \( \overline{MS_1} \) und \( \overline{MS_2} \) geteilt. Die Punkte \( S_1 \) und \( S_2 \) heißen Hauptscheitel. Die Länge je einer der beiden großen Halbachsen wird mit \( a \) bezeichnet.

Analog dazu spricht man von den Nebenscheiteln \( S_3 \) und \( S_4 \) und der Nebenachse, bestehend aus den kleinen Halbachsen \( \overline{MS_3} \) und \( \overline{MS_4} \). Die Länge der kleinen Halbachsen wird mit \( b \) bezeichnet.

Das Maß der Abflachung einer Ellipse nennt man Exzentrizität. In der Abbildung unten sieht man Ellipsen mit nach rechts sinkender Exzentrizität. Einen Kreis kann man als Ellipse mit der Exzentrizität Null auffassen. Die Exzentrizitäten von Ellipsen liegen zwischen 0 und 1.

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1. Kepler'sches Gesetz

Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

Die Sonne befindet sich also in einem Brennpunkt der Planetenbahn und nicht wie man vermuten könnte in dessen Mitte. Der andere Brennpunkt ist leer. Da der Planet sich entlang der Ellipse bewegt, ändert sich sein Abstand zur Sonne fortwährend. Der Sonnennächste Punkt heißt Perihel, der Sonnenfernste Punkt Aphel.

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Große Halbachse
\( \rm AE \)
Num. Exzentrität

Entfernung
von der Sonne
\( \rm AE \)

Geschwindigkeit
Aktuell
\( \rm \frac{km}{s} \)
Min./Max.
\( \rm \frac{km}{s} \)
Durchschnitt
\( \rm \frac{km}{s} \)

Diese Animation basiert auf einem Java-Applet von Walter Fendt (http://www.walter-fendt.de/ph14d/kepler1.htm).

2. Kepler'sches Gesetz

$$ \dfrac{\Delta A}{\Delta t} = \rm{konst.} \qquad \dfrac{\Delta A_1}{\Delta t_1} = \dfrac{\Delta A_2}{\Delta t_2} $$ Die Verbindungslinie Sonne-Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Fläche

Die von der Verbindungslinie überstrichenen Flächen in Sonnennähe und -ferne sind in der Animation grün bzw. orange dargestellt.

Wenn der Planet sich auf seiner Bahn näher an der Sonne befindet, bewegt er sich schneller, befindet es sich weiter von der Sonne entfernt, bewegt er sich langsamer. Daher ist die Erde im Sommer (auf der Nordhalbkugel) langsamer ist, da sie weiter von der Sonne entfernt ist. Aus diesem Grund und wegen der größeren Strecke ist der Sommer um 9 Tage länger als der Winter.

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Große Halbachse
\( \rm AE \)
Num. Exzentrität

Entfernung
von der Sonne
\( \rm AE \)

Geschwindigkeit
Aktuell
\( \rm \frac{km}{s} \)
Min./Max.
\( \rm \frac{km}{s} \)
Durchschnitt
\( \rm \frac{km}{s} \)

Diese Animation basiert auf einem Java-Applet von Walter Fendt (http://www.walter-fendt.de/ph14d/kepler2.htm).

3. Kepler'sches Gesetz

$$ \dfrac{(T_1)^2}{(T_2)^2} = \dfrac{(a_1)^3}{(a_2)^3} $$ Das Verhältnis aus den Quadraten der Umlaufzeiten und den 3. Potenzen der großen Halbachsen ist für alle Planeten konstant

Dieses Gesetz zeigt, dass sonnenferne Planeten mehr Zeit für einen Umlauf benötigen als sonnennahe. So benötigt beispielsweise unsere Erde nur 365 Tage für einen Umlauf, der wesentlich weiter von der Sonne entfernte Planet Neptun hingegen ungefähr 165 Jahre.

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Mars
Große Halbachse
\( \rm AE \)
Umlaufzeit
Entfernung
von der Sonne

\( \rm AE \)

Erde
Große Halbachse
\( \rm AE \)
Umlaufzeit
Entfernung
von der Sonne

\( \rm AE \)

Quellen

Literatur

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