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Kosmische Geschwindigkeiten

Einleitung

Als kosmische Geschwindigkeiten werden einige Geschwindigkeitswerte bezeichnet, die in der Raumfahrt besondere Bedeutung haben und sich aus den physikalischen Bedingungen der Erde sowie der Himmelsmechanik ergeben.

1. Kosmische Geschwindigkeit

$$ v_1 = \sqrt{G \, \dfrac{m_\rm{E}}{r_\rm{E}}} = 7,9 \, \rm{\dfrac{km}{s}} $$ Ein Flugkörper benötigt theoretisch mindestens die erste kosmische Geschwindigkeit, um antriebslos in einer Kreisbahn an der Erdoberfläche zu bleiben, ohne auf die Erdoberfläche zurückzufallen.

Ein Beispiel hierfür wäre ein waagerecht mit der ersten kosmischen Geschwindigkeit weggeworfener Stein, der nicht mehr auf die Erde zurückfällt, sondern auf einer Kreisbahn um die Erde fliegt. Dies ist allerdings praktisch wegen des hohen Luftwiderstands an der Erdoberfläche nicht möglich.

Herleitung

Die Gravitationskraft der Erde wirkt in diesem Fall als Zentripetalkraft, welche den Flugkörper auf eine Kreisbahn zwingt.

\begin{aligned} F_\rm{Z} &= F_\rm{G} \\ \\ \dfrac{\cancel m \cdot (v_1)^2}{\cancel r_\rm{E}} &= G \, \dfrac{\cancel m \cdot m_\rm{E}}{(r_\rm{E})^{\cancel 2}} \\ \\ (v_1)^2 &= G \, \dfrac{m_\rm{E}}{r_\rm{E}} \\ \\ v_1 &= \sqrt{G \, \dfrac{m_\rm{E}}{r_\rm{E}}} \\ \\ \end{aligned}

2. Kosmische Geschwindigkeit

$$ v_2 = \sqrt{2 \, G \, \dfrac{m_\rm{E}}{r_\rm{E}}} = 11,2 \, \rm{\dfrac{km}{s}} $$ Ein Flugkörper benötigt theoretisch mindestens die zweite kosmische Geschwindigkeit,
um antriebslos dem Gravitationsfeld der Erde zu entkommen.

Ein Beispiel hierfür wäre eine von der Erde mit der zweiten kosmischen Geschwindigkeit startende Rakete, die sich ohne weitere Beschleunigung immer weiter von der Erde entfernt. Dies ist allerdings praktisch wegen des hohen Luftwiderstands an der Erdoberfläche nicht möglich.

Herleitung

Um dem Gravitationsfeld der Erde zu entkommen muss die Rakete sich theoretisch unendlich weit entfernen. Die dafür benötigte Energie lässt sich berechnen:

\begin{aligned} \Delta W &= G \cdot m_\rm{E} \cdot m_\rm{R} \cdot \left( \dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2} \right) \\ \\ &= G \cdot m_\rm{E} \cdot m_\rm{R} \cdot \left( \dfrac{1}{r_\rm{E}} - \dfrac{1}{\infty} \right) \\ \\ &= G \cdot m_\rm{E} \cdot m_\rm{R} \cdot \dfrac{1}{r_\rm{E}} \\ \end{aligned}

Diese Arbeit muss in der kinetischen Energie der Rakete vorhanden sein.

\begin{aligned} E_\rm{kin} &= \Delta W \\ \\ \dfrac{\cancel m_\rm{R}}{2} \cdot (v_2)^2 &= G \cdot m_\rm{E} \cdot \cancel m_\rm{R} \cdot \dfrac{1}{r_\rm{E}} \\ \\ (v_2)^2 &= 2 \cdot G \cdot m_\rm{E} \cdot \dfrac{1}{r_\rm{E}} \\ \\ v_2 &= \sqrt{ 2 \,\, G \dfrac{m_\rm{E}}{r_\rm{E}} } \\ \\ \end{aligned}

3. Kosmische Geschwindigkeit

$$ v_3 = \sqrt{(v_\mathrm{2S})^2 + (v_\mathrm{2E})^2} = 16,7 \, \rm{\dfrac{km}{s}} $$ Ein Flugkörper benötigt theoretisch mindestens die dritte kosmische Geschwindigkeit,
um antriebslos dem Gravitationsfeld der Sonne zu entkommen.

Ein Beispiel hierfür wäre eine von der Erde mit der dritten kosmischen Geschwindigkeit startende Rakete, die sich ohne weitere Beschleunigung immer weiter von der Erde und dann auch von der Sonne entfernt. Dies ist allerdings praktisch wegen des hohen Luftwiderstands an der Erdoberfläche nicht möglich.

Herleitung

Zunächst berechnet man die Geschwindigkeit, welche nötig ist, um dem Gravitationsfeld der Sonne von einer ruhenden Erde zu entkommen. Dafür setzt man in die Formel für die zweite kosmische Geschwindigkeit die Masse der Sonne und die Entfernung Erde-Sonne ein.

$$ v_{2S} = \sqrt{2 \, G \, \dfrac{m_\rm{S}}{r_\rm{E, S}}} = \sqrt{2 \, G \, \rm \dfrac{\SI{2e30}{kg}}{\SI{149.6e9}{m}}} = 42,2 \,\, \rm \dfrac{km}{s} $$

Da die Erde bereits mit einer Geschwindigkeit von \( v = 29,8 \,\, \rm \frac{km}{s} \) um die Sonne kreist, reduziert sich die benötigte Geschwindigkeit auf:

$$ v_{2S} = 42,2 \,\, \rm \dfrac{km}{s} - 29,8 \,\, \rm \dfrac{km}{s} = 12,4 \,\, \rm \dfrac{km}{s} $$

Bei einem Start von der Erdoberfläche aus muss zu dieser Geschwindigkeit die Fluchtgeschwindigkeit der Erde quadratisch addiert werden, man erhält so die dritte kosmische Geschwindigkeit:

$$ v_3 = \sqrt{(v_{2S})^2 + (v_{2E})^2} = \sqrt{(12,4 \,\, \rm \tfrac{km}{s})^2 + (11,2 \, \rm{\tfrac{km}{s}})^2} = 16,7 \, \rm{\dfrac{km}{s}} $$

Quellen

Literatur

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