Newton'sches Gravitationsgesetz

Einleitung

Im Jahr 1686 formuliert Isaac Newton erstmals sein Gravitationsgesetz in seinem Werk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Das Gesetz besagt, dass jeder Massenpunkt jeden anderen Massenpunkt mit einer Kraft anzieht, die entlang der Verbindungslinie gerichtet ist.

$$ F = G \cdot \dfrac{m_1 \cdot m_2}{r^2} $$ \( G \) = Gravitationskonstante,
\( m_1, m_2 \) = Massen der beiden Körper, \( r \) = Abstand der Massenmittelpunkte

Gravitationskonstante

Der Wert der Gravitationskonstante beträgt: \( G = 6,673 \cdot 10^{-11} \rm \dfrac{m^3}{kg \cdot s^2} \)

Beziehungen

$$ F \sim m_1 $$ $$ F \sim m_2 $$

Die Kraft ist proportional zu der Größe der beiden Massen.

$$ F \sim \dfrac{1}{r^2} $$

Die Kraft ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes der beiden Massen.

Beispiele

Die Kraft mit der sich zwei \( 1 \,\, \rm kg \) schwere Körper in \( 5 \,\, \rm m \) Entfernung anziehen, lässt sich über die obige Formel berechnen:

$$ F = G \cdot \dfrac{m_1 \cdot m_2}{r^2} = 6,673 \cdot 10^{-11} \rm \dfrac{m^3}{kg \cdot s^2} \cdot \dfrac{1 \,\, kg \cdot 1 \,\, kg}{(5 \,\, m)^2} = 2,67 \cdot 10^{-12} \,\, N $$

Ein \( 80 \,\, \rm kg \) schwerer Mann wird mit der folgenden Kraft von der Erde angezogen:

$$ F = G \cdot \dfrac{m_\rm{Erde} \cdot m_\rm{Mann}}{(r_\rm{Erde})^2} = 6,673 \cdot 10^{-11} \rm \dfrac{m^3}{kg \cdot s^2} \cdot \dfrac{5,976 \cdot 10^{24} \,\, kg \cdot 80 \,\, kg}{(6378 \cdot 10^{3} \,\, m)^2} = 784,25 \,\, N $$

Wie man an den obigen Beispielen erkennt, ist die Gravitationskraft zwischen zwei Körpern auf der Erde kaum warnehmbar. Die Anziehungskraft der Erde ist hingegen aufgrund ihrer großen Masse für uns deutlich spürbar und sorgt dafür, dass wir mit den Füßen auf dem Boden bleiben und im Herbst die Äpfel von den Bäumen fallen.

Vergleich mit der Coulombkraft

Jedoch ist die Gravitationskraft die schwächste der vier Grundkräfte, was im Vergleich mit der elektrischen Wechselwirkung, der Coulombkraft recht deutlich wird. Zwei Elektronen stoßen sich deutlich stärker ab, als sie sich durch die Gravitation anziehen:

\begin{aligned} F_\rm{el} &= \dfrac{1}{4 \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \epsilon_r} \cdot \dfrac{q_\rm{e} \cdot q_\rm{e}}{r^2} \\ &= \rm \dfrac{1}{4 \pi \cdot 8,854 \cdot 10^{-12} \frac{A \cdot s}{V \cdot m} \cdot 1} \cdot \dfrac{1,602 \cdot 10^{-19} \,\, C \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \,\, C}{(1 \,\, m)^2} \\ \\ &= 2,31 \cdot 10^{-28} \,\, N \\ \\ \\ \\ F_\rm{G} &= G \cdot \dfrac{m_\rm{e} \cdot m_\rm{e}}{r^2} \\ &= 6,673 \cdot 10^{-11} \rm \dfrac{m^3}{kg \cdot s^2} \cdot \dfrac{9,11 \cdot 10^{-31} \,\, kg \cdot 9,11 \cdot 10^{-31} \,\, kg}{r^2} \\ \\ &= 5,54 \cdot 10^{-71} \,\, N \end{aligned}

Man kann nun das Verhältnis zwischen den beiden Kräften berechnen:

$$ \dfrac{F_\rm{el}}{F_\rm{G}} = \dfrac{2,31 \cdot 10^{-28} \,\, N}{5,54 \cdot 10^{-71} \,\, N} \approx 4,2 \cdot 10^{42} $$

Die Abstoßung der beiden Elektronen durch die Coulombkraft ist ungefähr \( 4,2 \cdot 10^{42} \) so stark wie ihre Anziehung durch die Gravitationskraft.

Erdbeschleunigung

In der Mechanik rechnet man oft mit der Erdbeschleunigung \( g = 9,81 \,\, \rm \frac{m}{s^2} \). Diese Beschleunigung entsteht durch die Gravitationskraft.

Setzt man die Formel für die Gewichtskraft eines Körpers \( F = m \cdot g \) gleich der Gravitationskraft und stellt nach der Erdbeschleunigung um, so erhält man:

\begin{aligned} \cancel m \cdot g &= G \cdot \dfrac{m_\rm{Erde} \cdot \cancel m}{(r_\rm{Erde})^2} \\ \\ g &= G \cdot \dfrac{m_\rm{Erde}}{(r_\rm{Erde})^2} \\ \\ g &\approx \rm 9,80 \frac{m}{s^2} \\ \end{aligned}

Astronomische Massenbestimmung

Kennt man die Entfernung und Umlaufzeit eines Himmelskörpers, welcher um einen schwereren Himmelskörper, den sogenannten Zentralkörper, kreist, so kann man die Masse \( M \) des Zentralkörpers bestimmen. Dabei wirkt die Gravitationskraft als Radialkraft, womit gilt:

\begin{aligned} F &= F_\rm{R} \\ \\ G \cdot \dfrac{M \cdot \cancel m}{r^2} &= \cancel m \cdot \omega^2 \cdot r \\ \\ G \cdot \dfrac{M}{r^2} &= \omega^2 \cdot r \\ \\ M &= \dfrac{\omega^2 \cdot r^3}{G} \qquad | \qquad \omega = \dfrac{2 \,\, \pi}{T} \\ \\ M &= \dfrac{4 \,\, \pi^2 \cdot r^3}{G \cdot T^2} \\ \end{aligned}

Erdmasse

Der Mond ist ungefähr \( 384400 \,\, \rm km \) von der Erde entfernt und umkreist sie in \( 27,322 \) Tagen. Die Masse der Erde ergibt sich damit:

$$ M_\rm{Erde} = \dfrac{4 \,\, \pi^2 \cdot (3.844 \cdot 10^{8} \,\, \rm{m})^3}{G \cdot (27,322 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 \,\, \rm{s})^2} = 6,03 \cdot 10^{24} \,\, kg $$

Dieser Wert weicht jedoch stark vom Tabellenwert für die Erdmasse (\( m_\rm{Erde} = 5,976 \cdot 10^{24} \,\, kg \)) ab. Dies liegt daran, dass der Mittelpunkt der Mondbahn nicht im Zentrum der Erde liegt, sondern beide Himmelskörper um ihren gemeinsamen Schwerpunkt drehen.

Sonnenmasse

Der Schwerpunkt des Systems Sonne-Erde liegt aufgrund der wesentlich größeren Entfernung und der viel größeren Masse der Sonne fast im Zentrum der Sonne. Dadurch ist die Berechnung der Sonnenmasse mit Hilfe der obigen Formel um einges genauer. Die Erde umkreist die Sonne in \( 149,6 \cdot 10^{6} \,\, \rm km \) Entfernung in einem Jahr (365,26 Tage).

$$ M_\rm{Sonne} = \dfrac{4 \,\, \pi^2 \cdot (149,6 \cdot 10^{9} \,\, \rm{m})^3}{G \cdot (365,26 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 \,\, \rm{s})^2} = 1,989 \cdot 10^{30} \,\, kg $$

Dieser Wert entspricht ungefähr dem Tabellenwert der Sonnenmasse.

Quellen

Literatur