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Satellitenbahnen

Einleitung

Viele Satelliten bewegen sich auf stabilen Umlaufbahnen um die Erde, manche haben das Gravitationsfeld der Erde verlassen und bewegen sich um andere Planeten und ein paar sind auf dem Weg das Sonnensystem zu verlassen. Eine wichtige Aufgabe der Astronomie ist es daher die Bahnen solcher Satelliten zu bestimmen.

Bahnformen

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Bei der Berechnung der Satellitenbahnen spielen zwei Geschwindigkeiten \( v_1, v_2 \) ein große Rolle. Sie sind abhängig von der Starthöhe des Satelliten (Herleitung s.u.).

Die erste Geschwindigkeit \( v_1 \) ist die Startgeschwindigkeit, welche für eine stabile Kreisumlaufbahn sorgt. Startet der Satellit mit höherer Geschwindigkeit so verformt sich seine Bahn zu einer Ellipse. Startet ein Satellit hingegen mit geringerer Geschwindigkeit so wird er wahrscheinlich auf die Erde zufallen und verglühen.

Die zweite Geschwindigkeit \( v_2 \) ist die Startgeschwindigkeit, die ein Satellit benötigt, um dem Gravitationsfeld der Erde auf einer Parabelbahn zu entfliehen. Startet der Satellit mit noch höherer Geschwindigkeit so verlässt er das Gravitationsfeld auf einer Hyperbelbahn.

Bahnsimulation

Die folgende Simulation berechnet die Bahnverläufe von Satelliten bei gegebener Starthöhe und -geschwindigkeit.


Startparameter
Höhe
\( \rm km \)
Anfangsgeschwindigkeit
\( \rm \frac{m}{s} \)
Bahn zeichnen
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ResetStart

Bahn
Große Halbachse
\( \approx \) \( \rm km \)
Num. Exzentrität

Stabile Umlaufbahn

Kreisbahn

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Ein Flugkörper benötigt theoretisch mindestens diese Geschwindigkeit, um antriebslos in einer Umlaufbahn um einen Himmelskörper zu bleiben, ohne auf dessen Oberfläche aufzuschlagen. Er bewegt sich dann auf einer Kreisbahn um den Himmelskörper.

$$ v = \sqrt{G \, \dfrac{M}{R+h}} $$ \( M \) = Masse des Himmelskörpers \( R \) = Radius des Himmelskörpers,
\( G \) = Gravitationskonstante, \( h \) = Höhe des Satelliten über der Oberfläche

Die Gravitationskraft der Erde wirkt in diesem Fall als Zentripetalkraft, welche den Flugkörper auf eine Kreisbahn zwingt.

\begin{aligned} F_\rm{Z} &= F_\rm{G} \\ \\ \dfrac{\cancel m \cdot (v_1)^2}{\cancel{R+h}} &= G \, \dfrac{\cancel m \cdot M}{(R+h)^{\cancel 2}} \\ \\ (v_1)^2 &= G \, \dfrac{M}{R+h} \\ \\ v_1 &= \sqrt{G \, \dfrac{M}{R+h}} \\ \\ \end{aligned}

Ellipse

Startet der Satellit mit höherer Geschwindigkeit so verformt sich seine Bahn zu einer Ellipse.

Flucht aus dem Gravitationsfeld

Ein Flugkörper benötigt theoretisch mindestens die zweite kosmische Geschwindigkeit,
um antriebslos dem Gravitationsfeld der Erde zu entkommen.

$$ v_2 = \sqrt{2 \, G \, \dfrac{M}{R+h}} $$ \( M \) = Masse des Himmelskörpers \( R \) = Radius des Himmelskörpers,
\( G \) = Gravitationskonstante, \( h \) = Höhe des Satelliten über der Oberfläche

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Um dem Gravitationsfeld der Erde zu entkommen muss die Rakete sich theoretisch unendlich weit entfernen. Die dafür benötigte Energie lässt sich berechnen:

\begin{aligned} \Delta W &= G \cdot M \cdot m_\rm{R} \cdot \left( \dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2} \right) \\ \\ &= G \cdot M \cdot m_\rm{R} \cdot \left( \dfrac{1}{R+h} - \dfrac{1}{\infty} \right) \\ \\ &= G \cdot M \cdot m_\rm{R} \cdot \dfrac{1}{R+h} \\ \end{aligned}

Diese Arbeit muss in der kinetischen Energie der Rakete vorhanden sein.

\begin{aligned} E_\rm{kin} &= \Delta W \\ \\ \dfrac{\cancel m_\rm{R}}{2} \cdot (v_2)^2 &= G \cdot M \cdot \cancel m_\rm{R} \cdot \dfrac{1}{R+h} \\ \\ (v_2)^2 &= 2 \cdot G \cdot M \cdot \dfrac{1}{R+h} \\ \\ v_2 &= \sqrt{ 2 \,\, G \dfrac{M}{R+h} } \\ \\ \end{aligned}

Quellen

Literatur

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