Braunsche Röhre

Einleitung

Die Kathodenstrahlröhre oder Braun'sche Röhre ist eine Elektronenröhre, die einen gebündelten Elektronenstrahl erzeugt. Man findet sie in alten Röhren-Fernsehern und Computermonitoren, welche jedoch zunehmend von Monitoren mit Plasma- und LCD-Bildschirmtechnik abgelöst werden.

Aufbau und Funktionsweise

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Aus der Glühwendel werden durch die Heizspannung \( U_H \) Elektronen herausgelöst, welche durch die Beschleunigungsspannnung \( U_B \) in Richtung Ringanode beschleunigt werden. Haben die Elektronen die Ringanode passiert bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit weiter bis zum Ablenkkondensator. Dort werden sie durch das elektrische Feld des Kondensators abgelenkt und treffen schließlich auf dem Leuchtschirm auf. Der Leuchtschirm besteht meistens aus Mineralien, die bei Elektronenbeschuss sichtbares Licht aussenden.

Der Wehnelt-Zylinder sorgt dafür, dass der Elektronenstrahl der Glühwendel nicht gleich nach seiner Erzeugung in verschiedene Richtungen auseinander läuft und so die Ringanode verfehlt.

Beschleunigungsphase

Die Elektronen werden entlang der Strecke \( m \), also auf dem Weg von der Glühwendel bis zur Ringanode durch die Beschleunigungsspannung \( U_B \) beschleunigt. Dabei wird den Elektronen die elektrische Energie \( E_{el} = U_B \cdot e \) zugeführt und in kinetische Energie umgewandelt. Es gilt daher:

\begin{aligned} E_{kin} & = E_{el} \\ \dfrac{m_e}{2} \cdot v^2 & = U_B \cdot e \\ \end{aligned}

Da die Masse und die Ladung eines Elektrons bekannt sind, kann man die Geschwindigkeit \( v \) berechnen:

\begin{aligned} \dfrac{m_e}{2} \cdot v^2 & = U_B \cdot e \\ v^2 & = \dfrac{2 \cdot U_B \cdot e}{m_e} \\ v & = \sqrt{ \dfrac{2 \cdot U_B \cdot e}{m_e} } \\ \end{aligned}

Ablenkphase

Es wird angenommen, die Elektronen erreichen den Ablenkkondensator mit der Geschwindigkeit \( v_0 \). Sie führen in X-Richtung weiterhin eine gleichförmige Bewegung mit dieser Geschwindigkeit durch, da die Beschleunigung des Ablenkkondensators nur in Y-Richtung wirkt.

$$ x = v_0 \cdot t $$

Die Beschleunigung in Y-Richtung des Kondensators führt zu einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung in Y-Richtung der Elektronen, für welche gilt:

$$ y = \dfrac{1}{2} \cdot a_y \cdot t^2 $$

Berechnet man aus der Ablenkspannung \( U_A \) und dem Abstand der Kondensatorplatten \( d \) die Feldkraft \( F \) im Kondensator, so kann man daraus die Beschleunigung bestimmen:

$$ F = \dfrac{U_A}{d} \cdot e \qquad \Rightarrow \qquad a_y = \dfrac{F}{m_e} = \dfrac{U_A \cdot e}{d \cdot m_e} $$

Einsetzen:

$$ y = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{U_A \cdot e}{d \cdot m_e} \cdot t^2 $$


Ablenkung am Ende des Kondensators

Man kann nun die Ablenkung \( y_1 \) nach dem Kondensator bestimmen, indem man die Zeit \( t_1 \) einsetzt, welche ein Elektron zum durchqueren des Kondensators benötigt:

$$ t_1 = \dfrac{s}{v_0} \qquad \Rightarrow \qquad y_1 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{U_A \cdot e}{d \cdot m_e} \cdot \left( \dfrac{s}{v_0} \right)^2 $$
Geschwindigkeiten am Ende des Kondensators

Die Geschwindigkeit in X-Richtung hat sich nicht geändert. Es gilt:

$$ v_x = v_0 $$

Die Geschwindigkeit in Y-Richtung lässt sich mit der Formel für beschleunigte Bewegung errechnen. Auch hier wird die Zeit \( t_1 \) eingesetzt:

$$ v_y = a \cdot t_1 = \dfrac{U_A \cdot e}{d \cdot m_e} \cdot \dfrac{s}{v_0} $$
Ablenkung am Schirm

Für den Bereich nach dem Kondensator gilt, dass sich das Elektron kräftefrei, also gleichförmig, mit der Geschwindigkeit \( v_y \) während der Zeit \( t_2 \) in Y-Richtung bewegt:

$$ t_2 = \dfrac{l}{v_0} \qquad \Rightarrow \qquad y_2 = v_y \cdot t_2 = \dfrac{U_A \cdot e}{d \cdot m_e} \cdot \dfrac{s}{v_0} \cdot \dfrac{l}{v_0} $$

Die Ablenkung am Schirm ergibt sich durch Addition von \( y_1 \) und \( y_2 \):

\begin{aligned} y_{Sch} & = y_1 + y_2 \\ & \\ y_{Sch} & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{U_A \cdot e}{d \cdot m_e} \cdot \left( \dfrac{s}{v_0} \right)^2 + \dfrac{U_A \cdot e}{d \cdot m_e} \cdot \dfrac{s}{v_0} \cdot \dfrac{l}{v_0} \\ & \\ y_{Sch} & = \underset{\text{Ausklammern}}{\underbrace{  \dfrac{U_A \cdot e}{d \cdot m_e} \cdot \dfrac{s}{(v_0)^2}  }} \cdot \dfrac{s}{2} + \underset{\text{Ausklammern}}{\underbrace{  \dfrac{U_A \cdot e}{d \cdot m_e} \cdot \dfrac{s}{(v_0)^2}  }} \cdot l \\ & \\ y_{Sch} & = \dfrac{U_A \cdot e}{d \cdot m_e} \cdot \dfrac{s}{(v_0)^2} \cdot \left( \dfrac{s}{2} + l \right) \\ \end{aligned} Ablenkung in Abhängigkeit von \( U_B \)

Man kann die Ablenkung auch direkt abhängig von der Beschleunigungspannung \( U_B \) berechnen. Es gilt:

$$ v_0 = \sqrt{ \dfrac{2 \cdot U_B \cdot e}{m_e} } $$

Somit ist z.B. die Ablenkung am Schirm abhängig von \( U_B \):

\begin{aligned} y_{Sch} & = \dfrac{U_A \cdot e}{d \cdot m_e} \cdot \dfrac{s}{(v_0)^2} \cdot \left( \dfrac{s}{2} + l \right) \\ & \\ y_{Sch} & = \dfrac{ U_A \cdot \cancel e}{d \cdot \cancel m_e} \cdot \dfrac{s}{\dfrac{2 \cdot U_B \cdot \cancel e}{\cancel m_e}} \cdot \left( \dfrac{s}{2} + l \right) \\ & \\ y_{Sch} & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{U_A}{d} \cdot \dfrac{s}{U_B} \cdot \left( \dfrac{s}{2} + l \right) \\ & \\ \end{aligned}

Man erkennt, dass die Abklenkung am Schirm nicht von der spezifischen Ladung \( \dfrac{e}{m_e} \) des Elektrons abhängig ist.

Quellen

Literatur