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Elektrische Felder II

Einleitung

In dem ersten Teil über elektrische Felder wurden die Feldstärke und die Feldkraft erklärt. Im zweiten Teil geht es um die Arbeit, Energie und die Bewegung von Ladungen im elektrischen Feld.

Arbeit \( W \)

Aus der Mittelstufe ist bereits die mechanische Arbeit bekannt. Diese wird verrichtet, wenn eine Kraft \( F \) längs eines Weges \( s \) auf einen Körper wirkt. Es gilt:

$$ W = F \cdot s $$
\( F \) = Kraft, \( s \) = Weg

Auch bei der Bewegung von Ladungen in einem Feld, sei es durch äußere Einflüsse oder durch die Feldkraft selbst, wird Arbeit verrichtet. Es ist jedoch zu beachten, dass als Weg \( s \) dabei der Weg parallel zu den Feldlinien bezeichnet wird. Beim Verschieben einer Ladung entlang der Feldlinien wird also viel Arbeit verrichtet, beim Verschieben senkrecht zu den Feldlinien hingegen wird keine Arbeit verrichtet.

Arbeit in homogenen Feldern

Für homogene Felder kann man die folgende Formel verwenden.

\begin{aligned} W &= Q \cdot E \cdot s \\ & \\ W &= Q \cdot U \end{aligned} \( Q \) = Ladung des Körpers, \( E \) = Feldstärke
\( U \) = Spannung zwischen Ausgangspunkt und Endpunkt, \( s \) = Weg parallel zu den Feldlinien

Die folgende Animation zeigt 3 Ladungen (\( q_1 = e \), \( q_2 = -e \), \( q_3 = -e \)) in einem homogenen Feld und zeigt den Weg parallel zu den Feldlinien.

ResetStart

Ladungen 1 und 2 legen zwar unterschiedlich lange Strecken zurück, der Anteil parallel zu den Feldlinien ist jedoch gleich, daher ist der Betrag der verrichteten Arbeit auch gleich.

Ladung 3 bewegt sich senkrecht zu den Feldlinien, d.h. der Weg parallel zu den Feldlinien ist 0, es wird keine Arbeit verrichtet.

Arbeit in inhomogenen Feldern

Bei inhomogenen Feldern gestaltet sich die Berechnung der Arbeit schwieriger, da die Feldkraft während der Bewegung nicht konstant ist.

Bei dem Radialfeld einer Punktladung hängt die Feldkraft von dem Abstand \( r \) ab. Man kann die Arbeit ermitteln, indem man über der Feldkraft integriert:

$$ W = \int \limits_{r_1}^{r_2} F(r) \,\,\mathrm{d}r $$ Setzt man nun die Coulombkraft ein, erhält man:

$$ W = \dfrac{Q_1 \cdot Q_2}{4 \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \epsilon_r} \cdot \int \limits_{r_1}^{r_2} \dfrac{1}{r^2} \,\,\mathrm{d}r = \dfrac{Q_1 \cdot Q_2}{4 \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \epsilon_r} \cdot \left( \dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2} \right) $$ \( Q_1 \) = Ladung der Punktladung, \( Q_2 \) = Ladung des Körpers,
\( r_1 \) = Abstand bei Ausgangsposition, \( r_2 \) = Abstand bei Endposition

Die folgende Animation zeigt 2 Ladungen (\( q_1 = q_2 = -e \)) in einem inhomogenen Feld und zeigt den Weg parallel zu den Feldlinien.

ResetStart

Man erkennt hier auch gut, dass die verrichtete Arbeit nur vom Ausgangs- und Endpunkt bestimmt wird. Ob sich die Ladungen dabei gradlinig oder mit vielen Kurven bewegen ist nicht von Bedeutung.

Potentielle Energie \( E_{pot} \)

Auch die potentielle Energie ist aus der Mittelstufe bekannt. Im Gravitationsfeld der Erde ist sie umso größer, je weiter ein Körper vom Erdmittelpunkt entfernt ist, d.h. je höher er über der Erdoberfläche ist.

Die folgende Animation zeigt die Analogie zwischen der potentiellen Energie im Gravitationsfeld und der potentiellen Energie im elektrische Feld.

ResetStart

Bei dem Gravitationsfeld links wurde festgelegt, dass die potenielle Energie an der Erdoberfläche 0 ist. Hebt man nun einen Körper um eine bestimmte Höhe an, so ist die dabei verrichtete Arbeit in der potentiellen Energie des Körpers gespeichert.

Ziemlich ähnlich ist es bei dem homogenen elektrischen Feld rechts. Hier wurde festgelegt, dass die potentielle Energie an der negativ geladenen Platte 0 ist. Bewegt man nun den geladenen Körper, so wird die verrichtete Arbeit in der potentiellen Energie des Körpers gespeichert.

Potentielle Energie in inhomogenen Feldern

Bei einem inhomogenen Radialfeld um eine Punktladung herum, wird meist festgelegt, dass die potentielle Energie in unendlicher Entfernung von der Punktladung = 0 ist.

ResetStart
$$ E_{pot} = \Delta W = \dfrac{Q_1 \cdot Q_2}{4 \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \epsilon_r} \cdot \left( \dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2} \right) = \dfrac{Q_1 \cdot Q_2}{4 \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \epsilon_r} \cdot \left( \dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{\infty} \right) = \dfrac{Q_1 \cdot Q_2}{4 \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \epsilon_r} \cdot \dfrac{1}{r_1} $$

Elektrisches Potential \( \phi \)

Jeder Ort in einem elektrischen Feld hat ein bestimmtes elektrisches Potential \( \phi \). Dieses ist ein Maß dafür, wie hoch die potentielle Energie eines geladenen Körpers an diesem Ort ist.

$$ E_{pot} = \phi \cdot q $$ \( E_{pot} \) = Potentielle Energie, \( \phi \) = Elektrisches Potential, \( q \) = Ladung des Körpers

Stellt man diese Formel nach \( \phi \) um, so kann man die Formel für das Potential aus der Formel für die potentielle Energie herleiten, indem man einfach das \( q \) wegkürzt.

$$ \phi = \dfrac{E_{pot}}{q} $$

Es gilt für das homogene Feld:

$$ E_{pot} = q \cdot E \cdot s \qquad \Rightarrow \qquad \phi = E \cdot s $$

Und es gilt für das inhomogene Feld:

$$ E_{pot} = \dfrac{Q_1 \cdot Q_2}{4 \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \epsilon_r} \cdot \dfrac{1}{r} \qquad \Rightarrow \qquad \phi = \dfrac{1}{4 \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \epsilon_r} \cdot \dfrac{q}{r} $$

Potentiallinien

Ähnlich der Feldlinien kann man sogenannte Potentiallinien in ein elektrisches Feld einzeichnen. Sie verlaufen senkrecht zu den Feldlinien. Bei der Bewegung eines Körpers entlang einer Potentiallinie wird keine Arbeit verrichtet.

Die Bezugspunkte für die Potentiale sind beim homogenen Feld bei der negativ geladenen Metallplatte und bei dem inhomogenen Feld im Unendlichen.

Quellen

Literatur

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