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Millikan Versuch

Einleitung

Der Millikan-Versuch ist ein physikalisches Experiment, welches eine relativ präzise Bestimmung der Elementarladung \( e \) ermöglicht. Der Versuch wurde im Jahre 1910 von dem amerikanischen Physiker Robert Andrews Millikan entwickelt und durchgeführt. Er ermittelte als Wert für die Elementarladung:

$$ e = \SI{1.592e-19}{C} $$

Heutzutage gibt es präzisere Methoden, um die Elementarladung zu ermitteln. Der genaue Wert beträgt heute:

$$ \SI{1.602176e-19}{C} $$

Berechnung mit der Schwebemethode (Einfeldmethode)

Die Kondensatorspannung \( U \) wird beim Millikan-Versuch solange erhöht bis ein Öltröpfchen annähernd still steht (schwebt). Dann wird das elektrische Feld ausgeschaltet und die Fallgeschwindigkeit \( v \) gemessen.

Übersicht über die Kräfte

  • Gewichtskraft (eines kugelförmigen Öltröpfchens im homogenen Schwerefeld der Erde):

    \( F_\mathrm{G} = m \cdot g = V \cdot \rho_\mathrm{Öl} \cdot g = \dfrac{4}{3} \pi \, r^3 \cdot \rho_\mathrm{Öl} \cdot g \)
  • Auftriebskraft (einer Kugel in Luft):

    \( F_\mathrm{A} = \dfrac{4}{3} \pi \, r^3 \cdot \rho_\mathrm{Luft} \cdot g \)
  • Feldkraft im homogenen elektrischen Feld:

    \( F_\mathrm{El} = q \cdot E = \dfrac{q \cdot U}{d} \)
  • Stokes'sche Reibungskraft (nur beim Fallen des Tröpfchens):

    \( F_\mathrm{R} = 6 \, \pi \, \eta \, r \, v \)

Dabei bedeuten:

\( \rho_\mathrm{Öl} \) = Dichte des Öls
\( \rho_\mathrm{Luft} \) = Dichte der Luft

\( g \) = Erdbeschleunigung

\( U \) = Spannung am Plattenkondensator
\( d \) = Plattenabstand des Plattenkondensators

\( \eta \) = Viskosität der Luft

\( v \) = Sinkgeschwindigkeit des Öltröpfchens

Effektive Dichte \( \rho^ \cdot \)

Der in den folgenden Herleitungen vorkommende Ausdruck \( F_\mathrm{G} - F_\mathrm{A} \) kann gut mit der "effektiven" Dichte \( \rho^ \cdot = \rho_\mathrm{Öl} - \rho_\mathrm{Luft} \) berechnet werden:

\begin{aligned} F_\mathrm{G} - F_\mathrm{A} &= \dfrac{4}{3} \pi \, r^3 \cdot \rho_\mathrm{Öl} \cdot g \enspace - \enspace \dfrac{4}{3} \pi \, r^3 \cdot \rho_\mathrm{Luft} \cdot g \\ & \\ F_\mathrm{G} - F_\mathrm{A} &= \dfrac{4}{3} \pi \, r^3 \cdot \left( \rho_\mathrm{Öl} - \rho_\mathrm{Luft} \right) \cdot g \\ & \\ F_\mathrm{G} - F_\mathrm{A} &= \dfrac{4}{3} \pi \, r^3 \cdot \rho^ \cdot \cdot g \\ \end{aligned}

Versuchsdurchführung

Die Kondensatorspannung \( U \) wird beim Millikan-Versuch solange erhöht bis ein Öltröpfchen annähernd still steht (schwebt). Dann wird das elektrische Feld ausgeschaltet und die Fallgeschwindigkeit \( v \) gemessen.

Folgende Werte gelten für die Simulation "Millikan-Versuch":

\( \rho_\mathrm{Öl} = 973   \frac{Kg}{m^3} \),  \( \rho_\mathrm{Luft} = 1,29   \frac{Kg}{m^3} \),  \( d = 5   mm \),  \( \eta = 1,828 \cdot 10^{-5}   \frac{Ns}{m^2} \), 

Der Abstand zweier dicker grauer Linien auf der Skala im Feld des Kondensators beträgt \( 1   mm \) und zwischen den dünnen Linien \( 0,25   mm \).


ResetStart
Öl sprühen

Elektrisches Feld:

An Aus
  
 \( U = \) -1 \(   V\)

Stoppuhr:

00:00.00

Start Reset

Ladung \( q \) des schwebenden Tröpfchens

Um die Ladung zu ermitteln, erhöht man die Kondensatorspannung \( U \) solange bis ein Tröpfchen schwebt. Dann sind die elektrische Kraft \( F_\mathrm{El} \) und die Auftriebskraft \( F_\mathrm{A} \) gleich der Gewichtskraft \( F_\mathrm{G} \).




\begin{aligned} F_\mathrm{El} + F_\mathrm{A} &= F_\mathrm{G} \\ & \\ F_\mathrm{El} &= F_\mathrm{G} - F_\mathrm{A} \\ & \\ \dfrac{q \cdot U}{d} &= \dfrac{4}{3} \pi \, r^3 \cdot \rho^ \cdot \cdot g \\ & \\ q &= \dfrac{4}{3} \pi \, r^3 \cdot \rho^ \cdot \cdot g \cdot \dfrac{d}{U} \\ & \\ \end{aligned}

Radius \( r \) des fallenden Tröpfchens

Wenn das Kondensatorfeld ausgeschaltet ist, werden die Tröpfchen zunächst von der Gewichtskraft \( F_\mathrm{G} \) nach unten gezogen und beschleunigt. Mit zunehmender Geschwindigkeit nimmt jedoch die Reibungskraft \( F_\mathrm{R} \) zu. Wenn diese Reibungskraft und die Auftriebskraft gleich der Gewichtskraft sind, wird das Öltröpfchen nicht mehr weiter beschleunigt, sondern fällt mit konstanter Geschwindigkeit \( v \) weiter. Man kann aus der Formel für dieses Kräftegleichgewicht den Radius \( r \) des Tröpfchens ermitteln.



\begin{aligned} F_\mathrm{G} &= F_\mathrm{R} + F_\mathrm{A} \\ & \\ F_\mathrm{G} - F_\mathrm{A} &= F_\mathrm{R} \\ & \\ \dfrac{4}{3} \cancel \pi \, r^{\cancel 3 2} \cdot \rho^ \cdot \cdot g &= 6 \, \cancel \pi \, \eta \, \cancel r \, v \\ & \\ \dfrac{4}{3} \, r^{2} \cdot \rho^ \cdot \cdot g &= 6 \, \eta \, v \\ & \\ r^{2} &= \dfrac{9 \, \eta \, v}{2 \, \rho^ \cdot g } \\ & \\ r &= \sqrt{ \dfrac{9 \, \eta \, v}{2 \, \rho^ \cdot g } } \\ & \\ \end{aligned}

Bestimmung der Elementarladung

© Ixitixel, Wikipedia
Messergebnisse der Tröpfchenladung beim Millikan-Versuch

Jedes Öltröpfchen besteht aus vielen Atomen und kann nicht nur eine, sondern auch mehrere Ladungen tragen. Daher ist jede berechnete Ladung \( q \) eines Öltröpfchens ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung \( e \). Dies wird deutlich, wenn man die Ladungsverteilung vieler Versuche in ein Diagramm einträgt.

Quellen

Literatur

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