Hall-Effekt

Einleitung

Befindet sich ein stromdurchflossener Leiter in einem Magnetfeld, so werden die Elektronen im Leiter von der Lorentzkraft abgelenkt. Dadurch entsteht im Leiter die sogenannte Hall-Spannung senkrecht zur Stromfluss- und zur Magnetfeldrichtung. Dieser Vorgang wurde 1879 von Edwin Hall entdeckt und später nach ihm benannt.

Berechnungen

Die Lorentzkraft \( F_L \) wird mit der elektrischen Kraft \( F_{El} \) gleichgesetzt:

\begin{align*} F_{El} &= F_L \\ & \\ \cancel e \cdot E &= \cancel e \cdot v \cdot B \\ & \\ E &= v \cdot B \\ & \\ \dfrac{U}{h} &= v \cdot B \\ & \\ U &= v \cdot B \cdot h \\ \end{align*}

Für die Gesamtladung \( Q \) der Elektronen im Leiter gilt:

$$ Q = N \cdot e $$
\( N \) = Anzahl der Elektronen, \( e \) = Elementarladung

Setzt man dies in die Formel für die Stromstärke ein und beachtet \( t = \dfrac{s}{v} \), erhält man:

$$ I = \dfrac{Q}{t} = \dfrac{N \cdot e \cdot v}{s} $$

Nun wird nach der Geschwindigkeit \( v \) umgestellt und in die Gleichung für \( U \) eingesetzt:

$$ v = \dfrac{I \cdot s}{N \cdot e} $$ $$ U = \dfrac{I \cdot s}{N \cdot e} \cdot B \cdot h $$

Man multipliziert nun beide Seiten mit der Dicke \( d \) des Leiters und ersetzt dann auf der rechten Seite das Volumen \( V = s \cdot h \cdot d \):

$$ U \cdot d = \dfrac{I \cdot s}{N \cdot e} \cdot B \cdot h \cdot d $$ $$ U \cdot d = \dfrac{V}{N \cdot e} \cdot I \cdot B $$ $$ U = \dfrac{V}{N \cdot e} \cdot \dfrac{I \cdot B}{d} $$

Das Ergebnis des ersten Bruchs ist stoffspezifisch und wird als Hall-Konstante \( R_\mathrm{H} \) bezeichnet:

$$ R_\mathrm{H} = \dfrac{V}{N \cdot e} $$

Schließlich erhält man für die Hall-Spannung \( U_\mathrm{H} \):

$$ U_\mathrm{H} = R_\mathrm{H} \cdot \dfrac{I \cdot B}{d} $$ \( I \) = Stromstärke, \( B \) = Magnetische Flussdichte, \( d \) = Dicke des Leiters

Quellen

Literatur

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