Lorentzkraft

  • Magnetismus, Magnetfelder, Lorentzkraft (8:52 Minuten)
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Allgemeine Definition

Die Lorentzkraft ist die Kraft, die ein magnetisches Feld auf eine bewegte Ladung ausübt. Sie ist nach dem niederländischen Mathematiker und Physiker Hendrik Antoon Lorentz benannt.

$$ F = q \cdot v \cdot B $$ \( q \) = Ladung, \( v \) = Geschwindigkeit, \( B \) = magnetische Flussdichte

Richtung der Lorentzkraft


Die Lorentzkraft auf eine bewegte Ladung in einem Magnetfeld wirkt ...

... senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladung

... senkrecht zu den Magnetfeldlinien

In der Abbildung links wird gezeigt, wie man die Richtung der Kraft auf eine negative Ladung mit Hilfe der Linke-Hand-Regel bestimmen kann. Dabei hält man den Daumen, den Zeigefinger und den Mittelfinger der linken Hand senkrecht zueinander. Es gilt dann:

Daumen = Bewegungsrichtung der Ladung (\( v \))

Zeigefinger = Richtung der Magnetfeldlinien (\( B \))

Mittelfinger = Richtung der Kraft (\( F \))

Die Kraft auf eine positive Ladung wirkt genau in die entgegengesetzte Richtung wie auf eine negative Ladung. Daher kann man für diese Ladungen die gleichen Regeln auf die rechte Hand anwenden, um die Richtung der Lorentzkraft zu erhalten.

Bahnform von Ladungen in Magnetfeldern


Ladungen bewegen sich in Magnetfeldern auf Kreisbahnen. Dies liegt daran dass die Lorentzkraft senkrecht zu der Bewegungsrichtung einer Ladung wirkt. Sie ändert daher nur die Richtung der Ladung, nicht jedoch seine Geschwindigkeit.

Die Abbildung auf der linken Seite zeigt die Kreisbahn einer negativen Ladung im Magnetfeld.

Die Lorentzkraft wirkt also als Zentripetalkraft. Es gilt daher:

\begin{aligned} F_\mathrm{L} & = F_\mathrm{Z} \\ q \cdot \cancel v \cdot B & = \dfrac{m \cdot v^{\cancel 2}}{r} \\ q \cdot B & = \dfrac{m \cdot v}{r} \\ \end{aligned}

Simulation der Bahnen

Die nachfolgende Simulation zeigt die Bewegung von geladenen Teilchen im Magnetfeld.

Teilchen hinzufügen mit q = \( -2 \, e \) \( -e \) \( 0 \) \( e \) \( 2 \, e \)        
 \( B = \) -1 \(   T\)
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Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Leiter

In einem stromdurchflossenen Leiter bewegen sich Elektronen vom Minuspol zum Pluspol. Befindet sich der Leiter in einem Magnetfeld, so wirkt auf diese Elektronen und damit auf den Leiter die Lorentzkraft.

Um die Kraft auf einen Leiter zu bestimmen, benötigt man die Stromstärke \( I \) und die Länge des Leiters im Magnetfeld \( l \).

Je länger ein Strom durch einen Leiter fließt, desto mehr Ladung wird bewegt. Es gilt daher die Formel:

$$ q = I \cdot t $$

Die Elektronen im Leiter bewegen sich mit der Driftgeschwindigkeit \( v \). Sie brauchen daher folgende Zeit \( t \), um einen Leiter der Länge \( l \) zu durchqueren:

$$ t = \dfrac{l}{v} \Rightarrow q = I \cdot \dfrac{l}{v} $$

Setzt man dies in die Formel für die Lorentzkraft auf bewegte Ladungen ein, so erhält man die Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Leiter:

$$ F = q \cdot v \cdot B $$ $$ F = I \cdot \dfrac{l}{\cancel v} \cdot \cancel v \cdot B $$

$$ F = B \cdot I \cdot l $$ \( B \) = magentische Flussdichte, \( I \) = Stromstärke, \( l \) = Länge des Leiters im Magnetfeld

Verläuft der Leiter nicht senkrecht zu den Feldlinien, sondern unter einem Winkel \( \alpha \), dann gilt:

$$ F = B \cdot I \cdot l \cdot \sin \alpha $$

Experiment

In dem folgenden Experiment wird der Einfluss der magnetischen Flussdichte \( B \), der Stromstärke \( I \) und der Länge des Leiters \( l \) auf die Lorentzkraft \( F \) getestet.


\( I \) =
0 2.5 A 5 A
\( B \) =
1 T 2 T
\( l \) =
5 cm 10 cm

Man beobachet:

  • Bei konstanter Flussdichte und Leiterlänge ist die Kraft umso größer, je höher die Stromstärke ist: \( F \sim I \)
  • Bei konstanter Flussdichte und Stromstärke ist die Kraft umso größer, je länger der Leiter ist: \( F \sim l \)
  • Bei konstanter Stromstärke und Leiterlänge ist die Kraft umso größer, je größer die Flussdichte ist: \( F \sim B \)

Die Beobachtungen passen hervorragend zu der oben hergeleiteten Formel für die Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Leiter:

$$ F = B \cdot I \cdot l $$

Quellen

Literatur