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Gleichförmige Kreisbewegung

  • Kreisbewegung und Zentripetalkraft (5:02 Minuten)
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Einleitung

Eine gleichförmige Kreisbewegung liegt dann vor, wenn sich ein Körper mit konstantem Tempo auf einer Kreisbahn bewegt.

Versuch

Ein Ball wird mit einem Seil (\( \ell = r = \rm 5 \,\, m \)) an einem Pfeiler befestigt und angestoßen, sodass er sich im Kreis um diesen bewegt. Vernachlässigt man die Luftreibung und Gravitation, so bewegt sich der Ball mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn um den Pfeiler.

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Legende
Geschwindigkeit 
Beschleunigung 
Winkel 
Winkel-Zeit-Kurve

Die Winkel-Zeit-Kurve ist eine Gerade die durch den Koordinatenursprung verläuft. Das zeigt, dass der Winkel und die Zeit proportional zueinander sind.

Der Proportionalitätsfaktor ist eine neue physikalische Größe, die Winkelgeschwindig­keit \( \omega \) des Körpers (s.u.).

$$ \phi(t) = \omega \cdot t $$
Weg-Zeit-Kurve

Die Weg-Zeit-Kurve ist eine Gerade die durch den Koordinatenursprung verläuft. Das zeigt, dass der zurückgelegte Weg und die Zeit proportional zueinander sind.

Der Proportionalitätsfaktor ist die Bahngeschwindigkeit \( v \).

$$ s(t) = v \cdot t = \omega \cdot r \cdot t $$
Winkelgeschwindigkeit-Zeit-Kurve

Die Winkelgeschwindigkeit \( \omega \) des Körpers ist konstant. Sie gibt an, wie schnell sich ein Winkel mit der Zeit ändert.

$$ \omega = \dfrac{\Delta \phi}{\Delta t} = \rm konst. $$
Geschwindigkeit-Zeit-Kurve

Die Bahngeschwindigkeit \( v \) ist konstant und kann aus der Winkelgeschwindigkeit bestimmt werden.

$$ v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \dfrac{\Delta \phi \cdot r}{\Delta t} = \omega \cdot r = \rm konst. $$

Radialbeschleunigung

Der Betrag der Geschwindigkeit ist bei einer gleichförmigen Kreisbewegung konstant. Jedoch ändert sich die Richtung der Geschwindigkeit ständig (siehe grüner Pfeil in der Animation). Die Ursache dafür ist die Radialbeschleunigung \( a_\rm{r} \). Sie ist immer radial (in Richtung Kreismittelpunkt) gerichtet.

$$ a_\rm{r} = \dfrac{v^2}{r} = \omega^2 \cdot r = \rm konst. $$

Periodendauer und Frequenz

Die Periodendauer \( T \) ist die Zeit, welche der Körper für einen Kreisumlauf benötigt. Sie hängt eng zusammen mit der Frequenz \( f \), welche die Zahl der Umläufe angibt, die der Körper innerhalb einer Zeitspanne macht.

$$ T = \dfrac{1}{f} \qquad \Rightarrow \qquad f = \dfrac{1}{T} $$

Aus diesen Größen lassen sich auch Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit berechnen.

$$ v = \dfrac{2 \,\, \pi \,\, r}{T} = 2 \,\, \pi \,\, r \,\, f $$ $$ \omega = \dfrac{2 \,\, \pi}{T} = 2 \,\, \pi \,\, f $$

Berechnungen zum Kreis

Der Zusammenhang zwischen Radius \( r \) und Umfang \( U \) lautet:

$$ U = 2 \,\, \pi \,\, r \qquad \Rightarrow \qquad r = \dfrac{U}{2 \,\, \pi}$$

Übungsaufgaben

Quellen

Literatur

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