Schräger Wurf

  • Schräger Wurf, Formeln, Beispielrechnung (4:15 Minuten)
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Einleitung

Beim schrägen Wurf wird ein Körper unter einem bestimmten Winkel zur Horizontalen geworfen. Die resultierende Bewegung ist eine Kombination aus gleichförmiger Bewegung in Abwurfrichtung und freiem Fall.

Versuch

Ein Ball wird von einer Erhöhung (\( h_0 = \rm 30 \,\, m \)) mit der Anfangsgeschwindigkeit \( v_0 = \rm 40 \,\, \frac{m}{s} \) im Winkel \( \alpha = 20^\circ \) abgeworfen. Er steigt zunächst bis er seine Maximalhöhe erreicht hat und sinkt danach immer schneller dem Boden entgegen.

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Geschwindigkeit 
Beschleunigung 

Auswertung

Der schräge Wurf ist eine Kombination aus einer gleichförmigen Bewegung in X-Richtung und einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung in Y-Richtung. Man kann daher den Bewegungsverlauf (Bahnkurve) in einem \( y(x) \)-Diagramm darstellen:

Komponenten der Anfangsgeschwindigkeit

Die Anfangsgeschwindigkeit \( v_0 \) teilt sich je nach Abwurfwinkel \( \alpha \) auf ihre Komponenten \( v_x \) und \( v_y \) auf:

$$ v_0 = \sqrt{ (v_x)^2 + (v_y)^2 } $$ $$ v_{0,x} = v_0 \cdot \cos \alpha $$ $$ v_{0,y} = v_0 \cdot \sin \alpha $$

Bestimmung der Bahngleichung

Um die Bahngleichung herzuleiten benötigt man zunächst die Ort-Zeit-Gesetze der beiden Bewegungs­komponenten.

Gleichförmige Bewegung $$ x = v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t $$
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung $$ y = h_0 - \dfrac{g}{2} \cdot t^2 + v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t $$

Nun wird die Gleichung für die X-Richtung nach \( t \) umgestellt und in die Gleichung für die Y-Richtung eingesetzt:

$$ x = v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t \qquad \Rightarrow \qquad t = \dfrac{x}{v_0 \cdot \cos \alpha} $$ \begin{aligned} y(t) &= h_0 - \dfrac{g}{2} \cdot t^2 + v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t \\ \\ y(x) &= h_0 - \dfrac{g}{2} \cdot \left( \dfrac{x}{v_0 \cdot \cos \alpha} \right)^2 + \cancel v_0 \cdot \sin \alpha \cdot \dfrac{x}{\cancel v_0 \cdot \cos \alpha} \\ \\ y(x) &= h_0 - \dfrac{g}{2} \cdot \dfrac{x^2}{(v_0 \cdot \cos \alpha)^2} + x \cdot \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \\ \\ y(x) &= h_0 - \dfrac{g}{2 \,\, (v_0)^2 \cdot (\cos \alpha)^2} \cdot x^2 + x \cdot \tan \alpha \\ \\ \end{aligned}

Ort-Zeit-Gesetz

Das Ort-Zeit-Gesetz beschreibt eine Parabel, welche sich in dem nachfolgenden \( y(t) \)-Diagramm wiederfindet. Aus diesem Diagramm kann man außerdem die Steigzeit \( t_\rm{H} \) und die maximale Wurfhöhe \( y_\rm{max} \) ablesen.

Steigzeit

Der Körper bewegt sich offensichtlich so lange nach oben bis seine Geschwindigkeit in Y-Richtung gleich Null ist, dann fällt er wieder. Setzt man daher im Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz die Geschwindigkeit gleich Null, so erhält man die Steigzeit \( t_\rm{H} \):

\begin{aligned} v_y &= v_0 \cdot \sin \alpha - g \cdot t \\ \\ 0 &= v_0 \cdot \sin \alpha - g \cdot t_\rm{H} \\ \\ v_0 \cdot \sin \alpha &= g \cdot t_\rm{H} \\ \\ t_\rm{H} &= \dfrac{v_0 \cdot \sin \alpha}{g} \\ \\ \end{aligned}

Maximale Wurfhöhe

Nach der Steigzeit \( t_\rm{H} \) hat der Körper die maximale Höhe erreicht. Setzt die obige Formel für die Steigzeit daher in das Weg-Zeit-Gesetz ein, so erhält man die maximale Wurfhöhe \( y_\rm{max} \):

\begin{aligned} y_\rm{max} &= y(t_\rm{H}) \\ \\ y_\rm{max} &= h_0 - \dfrac{g}{2} \cdot (t_\rm{H})^2 + v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t_\rm{H} \\ \\ y_\rm{max} &= h_0 - \dfrac{g}{2} \cdot \left(\dfrac{v_0 \cdot \sin \alpha}{g}\right)^2 + v_0 \cdot \sin \alpha \cdot \dfrac{v_0 \cdot \sin \alpha}{g} \\ \\ y_\rm{max} &= h_0 - \dfrac{\cancel g}{2} \cdot \dfrac{(v_0 \cdot \sin \alpha)^2}{g^{\cancel 2}} + \dfrac{(v_0 \cdot \sin \alpha)^2}{g} \\ \\ y_\rm{max} &= h_0 - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(v_0 \cdot \sin \alpha)^2}{g} + \dfrac{(v_0 \cdot \sin \alpha)^2}{g} \\ \\ y_\rm{max} &= h_0 + \dfrac{(v_0)^2 \cdot (\sin \alpha)^2}{2 \,\, g} \\ \\ \end{aligned}

Die Steigzeit und damit die Wurfhöhe werden maximal, wenn der Abwurfwinkel \( \alpha \) \( 90^\circ \) beträgt, da \( \sin 90^\circ = 1 \).

Wurfweite für \( h_0 = 0 \)

Die Berechnug der Wurfweite ist für \( h_0 = 0 \) noch relativ gut herzuleiten. Im folgenden Diagramm ist die Bahnkurve eines Wurfes mit der Anfangsgeschwindigkeit \( v_0 = \rm 40 \,\, \frac{m}{s} \) und dem Abwurfwinkel \( \alpha = 40^\circ \) dargestellt. Die Wurfweite ist eingezeichnet.

$$ y(x) = \dfrac{g}{2 \,\, (v_0)^2} \cdot x^2 $$ $$ x(t) = v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t \qquad \qquad \qquad y(t) = -\dfrac{g}{2} \cdot t^2 + v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t $$

Die Wurfweite ist erreicht, wenn die Zeit \( t_1 = t_\rm{H} + t_\rm{F} \) (Steigzeit + Fallzeit) verstrichen ist. Da der Körper die gleiche Zeit lang fällt wie er aufsteigt gilt \( t_\rm{F} = t_\rm{H} \). Die Formel für die Steigzeit wurde weiter oben hergeleitet. Es gilt nun für die Wurfweite \( x_\rm{max} \):

\begin{aligned} x_\rm{max} &= x(2 \cdot t_\rm{H}) \\ \\ x_\rm{max} &= v_0 \cdot \cos \alpha \cdot 2 \cdot t_\rm{H} \\ \\ x_\rm{max} &= v_0 \cdot \cos \alpha \cdot 2 \cdot \dfrac{v_0 \cdot \sin \alpha}{g} \\ \\ x_\rm{max} &= (v_0)^2 \cdot 2 \cdot \dfrac{\cos \alpha \cdot \sin \alpha}{g} \qquad | \cos \alpha \cdot \sin \alpha = \dfrac{1}{2} \cdot \sin (2 \,\, \alpha)\\ \\ x_\rm{max} &= \dfrac{(v_0)^2 \sin (2 \,\, \alpha)}{g} \\ \\ \end{aligned}

Geschwindigkeit-Zeit-Gesetze

Die Geschwindigkeit in X-Richtung ist konstant und beträgt \( v_{0,x} \). Die Geschwindigkeit in Y-Richtung nimmt aufgrund der Erdbeschleunigung gleichmäßig zu.

Gleichförmige Bewegung $$ v_x = v_{0,x} = v_0 \cdot \cos \alpha = \rm konst. $$
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung $$ v_y = v_{0,y} - g \cdot t = v_0 \cdot \sin \alpha - g \cdot t $$

Die momentane Geschwindigkeit in Flugrichtung wird mit Hilfe des Satz des Pythagoras aus den Geschwindigkeitskomponenten bestimmt.

\begin{aligned} v(t) &= \sqrt{ (v_x)^2 + (v_y)^2 } \\ \\ v(t) &= \sqrt{ (v_0 \cdot \cos \alpha)^2 + (v_0 \cdot \sin \alpha - g \cdot t)^2 } \\ \\ v(t) &= \sqrt{ (v_0)^2 \cdot (\cos \alpha)^2 + (v_0)^2 \cdot (\sin \alpha)^2 - 2 \,\, v_0 \,\, \sin \alpha \,\, g \,\, t + g^2 \cdot t^2 } \\ \\ v(t) &= \sqrt{ (v_0)^2 \cdot \underset{=1}{\underbrace{ ((\cos \alpha)^2 + (\sin \alpha)^2) }} - 2 \,\, v_0 \,\, \sin \alpha \,\, g \,\, t + g^2 \cdot t^2 } \\ \\ v(t) &= \sqrt{ (v_0)^2 + g^2 \cdot t^2 - 2 \,\, v_0 \,\, \sin \alpha \,\, g \,\, t } \\ \\ \end{aligned}

Quellen

Literatur

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