Senkrechter Wurf

Einleitung

Der senkrechte Wurf nach oben entspricht einer ungestörten Überlagerung von geradlinig, gleichförmiger Bewegung nach oben und dem freien Fall nach unten.

Versuch

Ein Ball wird mit der Anfangsgeschwindigkeit \( v_0 \) nach oben geworfen. Er steigt zunächst schnell auf, wird dann immer langsamer bis er am höchsten Punkt seiner Bahn angelangt ist. Dann beginnt er langsam zu sinken und wird dabei immer schneller bis er auf dem Boden aufschlägt.

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Legende
Geschwindigkeit 
Beschleunigung 

Auswertung

Der senkrechte Wurf ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit der konstanten Erdbeschleunigung \( g \) und der Anfangsgeschwindigkeit \( v_0 \). Die Gesetze für den senkrechten Wurf lauten daher:

$$ y = v_0 \cdot t - \dfrac{g}{2} \cdot t^2 $$ Ort-Zeit-Gesetz $$ v = v_0 - g \cdot t $$ Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz $$ a = g = \rm 9,81 \,\, \frac{m}{s^2} = \rm{konst.} $$ Beschleunigung-Zeit-Gesetz

Ort-Zeit-Gesetz

Das Ort-Zeit-Gesetz beschreibt eine Parabel, welche sich in dem nachfolgenden \( y(t) \)-Diagramm wiederfindet. Aus diesem Diagramm kann man außerdem die Steigzeit \( t_\rm{H} \) und die maximale Wurfhöhe \( y_\rm{max} \) ablesen.

Steigzeit

Der Körper bewegt sich offensichtlich so lange nach oben bis seine Geschwindigkeit gleich Null ist, dann fällt er wieder. Setzt man daher im Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz die Geschwindigkeit gleich Null, so erhält man die Steigzeit \( t_\rm{H} \):

\begin{aligned} v &= v_0 - g \cdot t \\ \\ 0 &= v_0 - g \cdot t_\rm{H} \\ \\ v_0 &= g \cdot t_\rm{H} \\ \\ t_\rm{H} &= \dfrac{v_0}{g} \\ \\ \end{aligned}

Maximale Wurfhöhe

Nach der Steigzeit \( t_\rm{H} \) hat der Körper die maximale Höhe erreicht. Setzt die obige Formel für die Steigzeit daher in das Weg-Zeit-Gesetz ein, so erhält man die maximale Wurfhöhe \( y_\rm{max} \):

\begin{aligned} y_\rm{max} &= v_0 \cdot t_\rm{H} - \dfrac{g}{2} \cdot (t_\rm{H})^2 \\ \\ y_\rm{max} &= v_0 \cdot \dfrac{v_0}{g} - \dfrac{g}{2} \cdot \left(\dfrac{v_0}{g}\right)^2 \\ \\ y_\rm{max} &= \dfrac{(v_0)^2}{g} - \dfrac{\cancel g}{2} \cdot \dfrac{(v_0)^2}{g^{\cancel 2}} \\ \\ y_\rm{max} &= \dfrac{(v_0)^2}{g} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(v_0)^2}{g} \\ \\ y_\rm{max} &= \dfrac{(v_0)^2}{2 \,\, g} \\ \\ \end{aligned}

Weg-Zeit-Gesetz

Mit dem Ort-Zeit-Gesetz lässt sich die Höhe des Körpers in Abhängigkeit von der Zeit bestimmen. Der insgesamt zurückgelegte Weg jedoch kann mit dem Weg-Zeit-Gesetz bestimmt werden:

$$ s = v_0 \cdot t - \dfrac{g}{2} \cdot t^2 $$ Weg-Zeit-Gesetz für \( t \leq t_\rm{H} \) $$ s = s_\rm{max} + \dfrac{g}{2} \cdot \left(t-t_\rm{H}\right)^2 $$ Weg-Zeit-Gesetz für \( t \gt t_\rm{H} \)

Übungsaufgaben

Quellen

Literatur