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Waagerechter Wurf

Einleitung

Unter dem waagerechten Wurf versteht man den Bewegungsvorgang, den ein Körper vollzieht, wenn er parallel zum Horizont geworfen wird, sich also mit einer horizontalen Startgeschwindigkeit nur unter dem Einfluss seiner Gewichtskraft bewegt.

Versuch

Ein Ball wird von einer Erhöhung (\( h_0 = \rm 80 \,\, m \)) mit der Anfangsgeschwindigkeit \( v_0 = \rm 40 \,\, \frac{m}{s} \) horizontal abgeworfen. Er bewegt sich fort und sinkt dabei immer schneller dem Boden entgegen.

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Legende
Geschwindigkeit 
Beschleunigung 

Auswertung

Der waagerechte Wurf ist eine Kombination aus einer gleichförmigen Bewegung in X-Richtung und einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung in Y-Richtung. Man kann daher den Bewegungsverlauf (Bahnkurve) in einem \( y(x) \)-Diagramm darstellen:

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Bestimmung der Bahngleichung

Um die Bahngleichung herzuleiten benötigt man zunächst die Ort-Zeit-Gesetze der beiden Bewegungs­komponenten.

Gleichförmige Bewegung $$ x = v_0 \cdot t $$
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung $$ y = h_0 - \dfrac{g}{2} \cdot t^2 $$

Nun wird die Gleichung für die X-Richtung nach \( t \) umgestellt und in die Gleichung für die Y-Richtung eingesetzt:

$$ x = v_0 \cdot t \qquad \Rightarrow \qquad t = \dfrac{x}{v_0} $$ \begin{aligned} y &= h_0 - \dfrac{g}{2} \cdot t^2 \\ \\ y &= h_0 - \dfrac{g}{2} \cdot \left( \dfrac{x}{v_0} \right)^2 \\ \\ y &= h_0 - \dfrac{g}{2} \cdot \dfrac{x^2}{(v_0)^2} \\ \\ y(x) &= h_0 - \dfrac{g}{2 \,\, (v_0)^2} \cdot x^2 \\ \\ \end{aligned}

Eigenschaften

Mit Hilfe der folgenden Diagramme gelingt es ein paar Eigenschaften des waagerechten Wurfes zu bestimmen. In dem linken \( s(x) \)-Diagramm, also der Bahnkurve (s.o) ist die Wurfweite eingezeichnet. In dem rechten \( s(t) \)-Diagramm ist die Fallzeit eingezeichnet.

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$$ y(x) = h_0 - \dfrac{g}{2 \,\, (v_0)^2} \cdot x^2 $$

Wurfweite

Die Wurfweite ist erreicht, wenn der Körper auf dem Boden aufschlägt, also \( y(x) \) gleich Null ist:

\begin{aligned} y(x) &= h_0 - \dfrac{g}{2 \,\, (v_0)^2} \cdot x^2 \\ \\ 0 &= h_0 - \dfrac{g}{2 \,\, (v_0)^2} \cdot (x_\rm{max})^2 \\ \\ h_0 &= \dfrac{g}{2 \,\, (v_0)^2} \cdot (x_\rm{max})^2 \\ \\ \dfrac{2 \,\, (v_0)^2 \,\, h_0}{g} &= (x_\rm{max})^2 \\ \\ x_\rm{max} &= v_0 \cdot \sqrt{ \dfrac{2 \,\, h_0}{g} } = v_0 \cdot t_\rm{F} \\ \\ \end{aligned}
$$ y(t) = h_0 - \dfrac{g}{2} \cdot t^2 $$

Fallzeit

Der Körper fällt solange bis er auf dem Boden aufschlägt, also \( y(t) \) gleich Null ist:

\begin{aligned} y(t) &= h_0 - \dfrac{g}{2} \cdot t^2 \\ \\ 0 &= h_0 - \dfrac{g}{2} \cdot (t_\rm{F})^2 \\ \\ h_0 &= \dfrac{g}{2} \cdot (t_\rm{F})^2 \\ \\ \dfrac{2 \,\, h_0}{g} &= (t_\rm{F})^2 \\ \\ t_\rm{F} &= \sqrt{ \dfrac{2 \,\, h_0}{g} } \\ \\ \end{aligned}

Geschwindigkeit-Zeit-Gesetze

Die Geschwindigkeit in X-Richtung ist konstant und beträgt \( v_0 \), die Geschwindigkeit in Y-Richtung nimmt aufgrund der Erdbeschleunigung gleichmäßig zu.

Gleichförmige Bewegung $$ v_x = v_0 = \rm konst. $$
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung $$ v_y = - g \cdot t $$

Die momentane Geschwindigkeit in Flugrichtung wird mit Hilfe des Satz des Pythagoras aus den Geschwindigkeitskomponenten bestimmt.

$$ v(t) = \sqrt{(v_x)^2 + (v_y)^2} = \sqrt{(v_0)^2 + g^2 \cdot t^2 } $$

Übungsaufgaben

Quellen

Literatur

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