Bragg-Gleichung

Einleitung

Röntgenstrahlung ist wie sichtbares Licht elektromagnetische Strahlung und zeigt Interferenzeffekte. Diese kann man jedoch nicht mit einem typischen Einzel- oder Doppelspaltexperiment nachweisen, da aufgrund der geringen Wellenlänge die Spaltabstände extrem klein sein müssten.

Im Jahre 1912 hatte Max von Laue die Idee, Kristalle für Interfenzversuche zu benutzen. Deren innere Struktur ist wie ein Gitter, ihre Ionen sind in regelmäßigen Abständen \( d \) angeordnet.

Die Röntgenstrahlen werden an der Elektronenhülle der bestrahlten Atome gebeugt und interferieren miteinander. Der Gangunterschied der gebeugten Wellen für einen bestimmten Winkel \( \alpha \) hängt vom Abstand der Atome im Kristallgitter und damit von dem elementspezifischen Netzebenenabstand \( d \) ab.

Bragg-Gleichung

In der Skizze bilden die rote, grüne und lilafarbene Linie zusammen ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse \( d \). Die Sinusdefinition verhilft zu folgendem Ausdruck:

$$ \delta = d \cdot \sin \alpha $$

Wie links in der Skizze zu erkennen ist, ist der Gangunterschied das doppelte von \( \delta \):

$$ \Delta s = 2 \cdot \delta = 2d \cdot \sin \alpha $$

Konstruktive Interferenz entsteht, wenn der Gangunterschied \( \Delta s \) ein Vielfaches der Wellenlänge ist.

$$ \Delta s = k \cdot \lambda $$

Somit gilt für das \( k \)-te Maxima:

$$ k \cdot \lambda = 2d \cdot \sin \alpha \qquad k = 1, 2, 3, ... $$

Drehkristall-Versuch

Beim Drehkristall-Versuch trifft Röntgenstrahlung auf einen Kristall. Sie interferiert und trifft dann auf einen Detektor. Der Kristall ist drehbar, sodass man den Einfallswinkel \( \alpha \) der Strahlung verändern kann.

ResetStart

In diesem Fall wird ein Lithium-Fluorid-Kristall mit Röntgenstrahlung einer unnbekannten Wellenlänge \( \lambda \) verwendet. Man beobachtet bei den Winkeln \( \alpha_1 = 0° \), \( \alpha_2 \approx 10° \) und \( \alpha_3 \approx 21° \) relative Intensitätsmaxima, die sogenannten Bragg-Winkel oder Glanzwinkel.

Hat man den Netzebenenabstand von Lithium-Fluroid \( d_L = 2,01 \cdot 10^{-10} m \) kann man einen beliebigen dieser Winkel in die Bragg-Gleichung einsetzen und damit die Wellenlänge der bei dem Versuch benutzten Röntgenstrahlung berechnen. Es gilt für das erste Maximum:

$$ \lambda = 2 \cdot d \cdot \sin \alpha = 2 \cdot 2,01 \cdot 10^{-10} \,\, m \cdot \sin 10^\circ = 6,98 \cdot 10^{-11} \,\, m $$

Quellen

Literatur