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Harmonische Schwingung

Versuch: Federpendel

Ein Gewicht (oranger Kasten) hängt an einer Feder. Wird es nach unten gezogen und dann losgelassen, beginnt es auf und ab zu schwingen.

Links: Schwingung mit Reibung
Durch Reibung verliert die Schwingung an Energie, dadurch pendelt das Gewicht immer näher um die Ruhelage herum und hört schließlich auf zu schwingen.

Rechts: Schwingung ohne Reibung
Das Gewicht pendelt gleichmäßig um die Ruhelage.

Wir befassen uns zunächst mit der Schwingung ohne Reibung. Für weitere Informationen zur Schwingung mit Reibung siehe Gedämpfte Schwingung.

Allgemeine Definition von Schwingung

Eine Schwingung (auch Oszillation) bezeichnet den Verlauf einer Zustandsänderung, wenn ein System auf Grund einer Störung aus dem stabilen Gleichgewicht gebracht und durch eine rücktreibende Kraft wieder in Richtung des Ausgangszustandes gezwungen wird. [...]

Anwendung auf das Federpendel

Links: Stabiles Gleichgewicht
Die Zugkraft der Feder (nach oben) und die Erdbeschleunigung (nach unten) gleichen sich aus. Der Kasten bewegt sich nicht.

Rechts: Störung und rücktreibende Kraft
Wird das Gewicht durch eine Störung (z.B. ziehen mit der Hand) aus der Gleichgewichtslage gebracht, so entsteht ein Kräfteungleichgewicht zwischen der Zugkraft der Feder und der Erdbeschleunigung.
Die resultierende Gesamtkraft, welche auf das Gewicht wirkt, wird als rücktreibende Kraft bezeichnet, da sie "versucht" das Gewicht in die Ausgangslage "zurückzutreiben".

Allgemeine Definition von Schwingung (Fortsetzung)

[...] Grundsätzlich basiert das Schwingen eines Systems auf der periodischen Energieumwandlung zwischen zwei Energieformen. Dabei durchläuft das System wiederholt nach einem festen Zeitintervall den Ausgangszustand.

Anwendung auf das Federpendel

Um die Schwingung des Federpendels genauer zu erklären ist eine Betrachtung der Geschwindigkeit des Gewichts nötig.

ResetStart

Es fällt folgendes auf:

Bei maximaler Auslenkung
Die Geschwindigkeit des Gewichtes ist minimal (\(0 m/s\)). Die Rückstellkraft ist maximal.

Bei Passieren der Ruhelage
Die Rückstellkraft ist minimal (\(0 N\), da die Federkraft und die Gewichtskraft sich ausgleichen). Die Geschwindigkeit ist maximal.
Das Gewicht bewegt sich allein durch seine Trägheit weiter.

Fazit
Es findet eine Energieumwandlung zwischen der potentiellen Energie der Feder und der kinetischen Energie des Gewichtes statt.



Die Rückstellkraft

Die Kraft die bei der Verformung einer Feder auftritt ist seit der Mittelstufe bekannt. Sie lautet:
$$ F = - D \cdot s $$

\(D\) = Federkonstante, \(s\) = Auslenkung


ResetStart

Ruhelage
\( F_{Rück} = F_G + F_{Zug} = F_G - D \cdot s_1 = 0 \)

Störung
\( F_{Rück} = F_G + F_{Zug} = \underset{0}{\underbrace{F_G - D \cdot s_1}} - D \cdot s_2 = - D \cdot s_2 \)









Schwingungsdifferentialgleichung

Unter zuhilfenahme der Formeln \( F = m \cdot a \) und \( a = \ddot{s} \) (Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Weges) erhält man folgende Differentialgleichung:
\begin{aligned} F_{Rück} & = - D \cdot s \\ m \cdot a & = - D \cdot s \\ m \cdot \ddot{s} & = - D \cdot s \end{aligned} Wie diese Gleichung gelöst werden kann, wird hier zunächst nicht näher beschrieben.

Schwingungsgleichung

Durch Lösen der Differentialgleichung, erhält man die Schwingungsgleichung: $$ s(t) = s_0 \cdot \sin (2 \pi f t + \phi_0) $$

\(s(t)\) = Auslenkung nach Zeit \(t\), \(s_0\) = Amplitude, \(f\) = Frequenz, \(\phi_0\) = Phasenwinkel


  • Amplitude
    Die Amplitude \( s_0 \) beschreibt die maximale Auslenkung einer Schwingung.
  • Periodendauer (Schwingungsdauer)
    Die Periodendauer ist die Zeit, die verstreicht, während ein schwingungsfähiges System genau eine Schwingungsperiode durchläuft, d.h. nach der es sich wieder im selben Schwingungszustand befindet. Der Kehrwert der Periodendauer \(T\) ist die Frequenz \(f\), also: \( f = \frac{1}{T} \).
  • Frequenz
    Die Frequenz \( f \) gibt die Anzahl der vollen Schwingungen pro Zeiteinheit an und wird nach dem deutschen Physiker Heinrich Hertz in Hertz (\( Hz = \dfrac{1}{s} \)) gemessen.
  • Phasenwinkel
    Der Phasenwinkel \( \phi_0 \) gibt an, bei welcher Phase die Schwingung beginnt. Ein Phasenwinkel von \( \phi_0 = 2 \cdot \pi \) entspricht dabei einer Verschiebung um eine Periode.
    Bei einem Phasenwinkel von \( \phi_0 = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot \pi = \frac{1}{2} \cdot \pi \) würde sich die Schwingung um eine viertel Periode verschieben. (D.h. das Federpendel würde oben starten)

Beispiel 1:
\( s_0 = 2   m \),  \( f = \frac{1}{10}   Hz \) und \( \phi_0 = 0 \)

ResetStart

Die Periodendauer beträgt $$ T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{\frac{1}{10} Hz} = 10   s $$

Kreisfrequenz

Eine Schwingung kann man auch als Projektion einer Kreisbewegung verstehen.

ResetStart

Die Winkelgeschwindigkeit \( \omega \) einer solchen Bewegung ist bereits aus der Mittelstufe bekannt: $$ \omega = 2 \pi f $$ Sie entspricht dem vom blauen Zeiger überstrichenen Winkel pro Sekunde.

In der linken Animation schwingt das Gewicht mit der Frequenz \( f = 0,25   Hz \), die Winkelgeschwindigkeit beträgt folglich: $$ \omega = 2 \pi f = 2 \pi \cdot 0.25   Hz = \dfrac{1}{2} \pi   Hz $$ Bei Schwingungen wird \( \omega \) jedoch als Kreisfrequenz bezeichnet.

Die Schwingungsgleichung lautet nun: $$ s(t) = s_0 \cdot \sin (\omega t + \phi_0) $$

\(s(t)\) = Auslenkung nach Zeit \(t\), \(s_0\) = Amplitude, \( \omega \) = Kreisfrequenz, \(\phi_0\) = Phasenwinkel

Beispiel 2:
\( s_0 = 5   m \),  \( \omega = \frac{1}{2} \pi   Hz \) und \( \phi_0 = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot \pi = \frac{1}{2} \cdot \pi \)

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Die Frequenz beträgt $$ f = \dfrac{\omega}{2 \pi} = \dfrac{\frac{1}{2} \pi   Hz}{2 \pi} = \dfrac{1}{4}   Hz $$ Die Periodendauer beträgt $$ T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{\frac{1}{4} Hz} = 4   s $$

Geschwindigkeit und Beschleunigung

Die Gleichungen für die Geschwindigkeit und der Beschleunigung erhält man durch Ableiten der Schwingungsgleichung. \begin{aligned} s(t) & = s_0 \cdot \sin (\omega t + \phi_0) \\ & \\ v(t) & = \omega \cdot s_0 \cdot \cos (\omega t + \phi_0) \\ & \\ a(t) & = -\omega^2 \cdot s_0 \cdot \sin (\omega t + \phi_0) \end{aligned}
ResetStart

Die Geschwindigkeitsfunktion ist gegenüber der Schwingungsfunktion um \( \frac{1}{2} \pi \) nach links verschoben.
Die Beschleunigungsfunktion ist gegenüber der Schwingungsfunktion um \( 1 \pi \) nach links verschoben.

Quellen

Literatur

Abi-Physik © 2017, Partner: Abi-Mathe, Abi-Chemie, English website: College Physics