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Schwebung

Definition von Schwebung

Als Schwebung bezeichnet man die Resultierende der additiven Überlagerung zweier Schwingungen, welche eine ähnliche Frequenz haben. Es entsteht eine Schwingung mit periodisch veränderlicher Amplitude.

Beispiel

Schwebung zweier Wellen (rot und grün) und resultierende Welle (blau).

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Daten der Wellen: \( v = 0.5 \dfrac{m}{s} \), \( \lambda_1 = 2,0   m \), \( \lambda_2 = 2,2   m \), \( f_1 = \dfrac{5}{20}   Hz \), \( f_2 = \dfrac{5}{22}   Hz \)

Wenn man dazu noch die Amplitudenfunktion der resultierende Schwingung einzeichnet (grau), erkennt man, dass sich die Amplitude der resultierenden Welle periodisch ändert (siehe Rechnung).

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Rechnung

Man betrachte zwei gleichgerichtete harmonische Schwingungen mit leicht unterschiedlichen Frequenzen $$ s_1(t) = \hat{s}_1 \cdot \sin(2 \pi \cdot f_1 \cdot t) $$ $$ s_2(t) = \hat{s}_2 \cdot \sin(2 \pi \cdot f_2 \cdot t) $$ Zur Vereinfachung sei angenommen, dass beide Schwingungen dieselbe Amplitude haben. $$ \hat{s}_1 = \hat{s}_2 = \hat{s} $$ Dann kann die Summenschwingung \( s_R \) so dargestellt werden: $$ s_R(t) = \hat{s} \cdot \left(\sin \left(2 \pi \cdot f_1 \cdot t \right) + \sin\left(2 \pi \cdot f_2 \cdot t \right)\right) $$ Dieser Ausdruck kann durch Anwendung der Additionstheoreme umgeformt werden in die folgende Formel: $$ s_R(t) = 2\hat{s} \cdot \sin \left(2\pi \cdot \dfrac{f_1 + f_2}{2} \cdot t\right)\cdot \cos \left(2 \pi \cdot \dfrac{f_1 - f_2}{2} \cdot t \right) $$ Ein wenig umgestellt erhält man: $$ s_R(t) = 2\hat{s} \cdot \cos \left(2 \pi \cdot \dfrac{f_1 - f_2}{2} \cdot t \right) \cdot \sin \left(2\pi \cdot \dfrac{f_1 + f_2}{2} \cdot t\right) $$ Die Frequenz der Überlagerungsschwingung ist die mittlere Frequenz der beiden Teilschwingungen. $$ f_R = \dfrac{f_1 + f_2}{2} $$ Somit lautet die Formel nun: $$ s_R(t) = \underset{ \mathrm{Amplitude} }{\underbrace{ 2\hat{s} \cdot \cos \left(2 \pi \cdot \dfrac{f_1 - f_2}{2} \cdot t \right) }} \cdot \sin \left(2\pi \cdot f_R \cdot t\right) $$ Die letzte Formel besagt, dass die resultierende Amplitude sich zeitlich ändert.

Für \( f_S \) findet man den Ausdruck: $$ f_S = \dfrac{f_1 - f_2}{2} $$ Dieses ist die Frequenz, die sich rechnerisch aus dem Kosinus-Glied ergibt. Da es für die Umhüllende der Überlagerungsschwingung (d.h. für die hörbare Amplitudenschwankung) egal ist, ob sich der Kosinus im plus- oder minus-Bereich befindet, ist die hörbare Frequenz der Lautstärkeänderung doppelt so groß. Diese so genannte Schwebungsfrequenz ist definiert als $$ f_\mathrm{Schwebung} = \left| f_1 - f_2 \right| $$ und ihr Betrag ist wesentlich kleiner als \( f_R \). Die sich daraus ergebende Schwebungsperiode $$ T_\mathrm{Schwebung} = \dfrac{1}{f_\mathrm{Schwebung}} $$ ist der zeitliche Abstand zwischen zwei Punkten minimaler Amplitude (Knoten) der Schwebungsfunktion \( s_R \).

Quellen

Literatur

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