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Sachsen-Anhalt

Zentralabituraufgabe 2008

Grundkurs Physik

Aufgabenteil V1: Ablenkung von Elektronen

Elektrisches Feld

In einer Elektronenstrahlröhre, die in Oszilloskopen Verwendung findet, werden Elektronen auf eine Geschwindigkeit $ v_0 $ beschleunigt. Sie treten senkrecht zum elektrischen Feld genau in der Mitte der Ablenkplatten ein. Der Leuchtschirm befindet sich $ s = 250 \,\, mm $ hinter den Ablenkplatten (Bild 1).

Geschwindigkeit	$ v_0 $	$ = 6,0e6 \,\, \frac{m}{s} $
Länge des Kondensators	$ \ell $	$ = 40 \,\, mm $
Plattenabstand	$ d $	$ = 48 \,\, mm $
Kondensatorspannung	$ U_K $	$ = 240 \,\, V $

Für die Ablenkung im Kondensator gilt:

Berechnen Sie die Strecke $ y_E $, um die der Elektronenstrahl zur Horizontalen abgelenkt wird, und den Austrittswinkel $ \alpha $.

(Ergebnis zur Kontrolle: $ y_E = -19,5 \,\, mm $, $ \alpha = -44,3^\circ $ )

Berechnen der Strecke
\begin{aligned} y_E &= y(\ell) = - \dfrac{e \cdot E}{ 2 \,\, (v_0)^2 \cdot m_e } \cdot \ell^2 = - \dfrac{e \cdot U_K}{ 2 \,\, (v_0)^2 \cdot m_e \cdot d } \cdot \ell^2 \\ \\ y_E &= - \dfrac{1,602e-19 \,\, C \cdot 240 \,\, V}{ 2 \,\, (6,0e6 \,\, \frac{m}{s})^2 \cdot 9,11e-31 \,\, kg \cdot 0,048 \,\, m } \cdot (0,04 \,\, m)^2 = -19,5 \,\, mm \end{aligned}

Berechnen des Austrittswinkels

Lösungsweg 1

Lösungsweg 2

Die Geschwindigkeitskomponenten der Elektronen am Ende des Kondensators bilden ein Dreieck. Es gilt:
$$ \tan \alpha = \dfrac{v_y}{v_0} $$
Die Vertikalkomponente der Geschwindigkeit hängt von der Beschleunigung $ a $ im Kondensator und der Zeit $ t_1 $, die ein Elektron benötigt, um den Kondensator zu durchqueren.
$$ v_y = a \cdot t_1 $$
Die Zeit $ t_1 $ lässt sich mit Hilfe des Weg-Zeit-Gesetzes der gleichförmigen Bewegung bestimmen. Die Beschleunigung kann man aus der Feldkraft im Kondensator bestimmen.
$$ t_1 = \dfrac{\ell}{v_0} \qquad\qquad a = \dfrac{F_\rm{el}}{m_e} = \dfrac{E \cdot e}{m} = \dfrac{U_K \cdot e}{d \cdot m_e} $$
Einsetzen der Formel:
$$ v_y = a \cdot t_1 = \dfrac{U_K \cdot e}{d \cdot m_e} \cdot \dfrac{\ell}{v_0} = \dfrac{U_K \cdot e \cdot \ell}{d \cdot m_e \cdot v_0} $$
Damit gilt:
$$ \tan \alpha = \dfrac{v_y}{v_0} = \dfrac{U_K \cdot e \cdot \ell}{d \cdot m_e \cdot (v_0)^2} $$
Nun können die Werte eingesetzt werden.
$$ \tan \alpha = \dfrac{240 \,\, V \cdot 1,602e-19 \,\, C \cdot 0,04 \,\, m}{0,048 \,\, m \cdot 9,11e-31 \,\, kg \cdot (6,0e6 \,\, \frac{m}{s})^2} = 0,977 \qquad \Rightarrow \qquad \alpha = -44,3^\circ $$

Man kann den Austrittswinkel auch ermitteln, indem man die Steigung der Bahnkurve an der Stelle $ \ell $ bestimmt. Dazu wird die gegebene Formel für die Bahnkurve $ y(x) $ zunächst abgeleitet.
\begin{aligned} y &= - \dfrac{e \cdot U_K}{ 2 \,\, (v_0)^2 \cdot m_e \cdot d } \cdot x^2 \\ \\ y' &= - \dfrac{e \cdot U_K}{ (v_0)^2 \cdot m_e \cdot d } \cdot x \end{aligned}
Die Steigung an der Stelle $ \ell $ ergibt sich aus $ y\,'(\ell) $ und ist gleich dem Tangens vom Austrittswinkel $ \alpha $:
\begin{aligned} \tan \alpha &= y\,'(\ell) = - \dfrac{e \cdot U_K}{ (v_0)^2 \cdot m_e \cdot d } \cdot \ell \\ \\ \tan \alpha &= - \dfrac{1,602e-19 \,\, C \cdot 240 \,\, V}{ (6,0e6 \,\, \frac{m}{s})^2 \cdot 9,11e-31 \,\, kg \cdot 0,048 \,\, m } \cdot 0,04 \,\, m \\ \\ \\ \tan \alpha &= 0,977 \\ \\ \alpha &= -44,3^\circ \end{aligned}

Lösung zeigen

Magnetisches Feld
1. Berechnen Sie den Radius $ r $ der Elektronenbahn.
  
  Anhand der nebenstehenden Skizze erkennt man, dass sich der Radius über das Dreieck rechts unten bestimmen lässt. Wendet man darauf den Satz des Pythagoras an, so erhält man:
  \begin{aligned} r^2 &= b^2 + (r - |y_B|)^2 \\ \\ r^2 &= b^2 + r^2 - 2 \cdot r \cdot |y_B| + (y_B)^2 \qquad | -r^2 \\ \\ 0 &= b^2 - 2 \cdot r \cdot |y_B| + (y_B)^2 \qquad | +2 \cdot r \cdot |y_B| \\ \\ 2 \cdot r \cdot |y_B| &= b^2 + (y_B)^2 \\ \\ r &= \dfrac{b^2 + (y_B)^2}{2 \cdot |y_B|} \\ \\ r &= \dfrac{(40 \,\, mm)^2 + (-19,5 \,\, mm)^2}{2 \cdot 19,5 \,\, mm} = 50,8 \,\, mm \\ \end{aligned}
  
  Lösung zeigen
2. Bestimmen Sie den Winkel $ \beta $ zur Horizontalen, unter dem der Elektronenstrahl das Magnetfeld verlässt.
  
  Ergebnis zur Kontrolle: $ \beta = -51,9^\circ $
  
  Anhand der nebenstehenden Skizze erkennt man, dass sich der Winkel über dasselbe Dreieck wie in a) lösen lässt. Es gilt:
  $$ \sin \beta = \dfrac{b}{r} = \dfrac{40 \,\, mm}{50,8 \,\, mm} \qquad \Rightarrow \qquad \beta = 51,9^\circ $$
  
  Lösung zeigen
Vergleich
1. Diskutieren Sie für die Bedingung $ y_E = y_B $ das Ablenkvermögen durch die elektrischen bzw. magnetischen Felder in Elektronenstrahlröhren unter Einbeziehung der Ergebnisse der Aufgaben 1 und 2 bezüglich der Größe der Bildschirme und der Röhrenlänge.
  Wenn $ y_E = y_B $ gilt, so ist $ \alpha \lt \beta $, der Austrittswinkel ist also beim elektrischen Feld kleiner als beim magnetischen Feld.
  
  Daher kann man folgende Aussagen machen:
  - Legt man einen festen Abstand zwischen Feld und Bildschirm fest, so ist die Ablenkung auf dem Schirm (also die Strecke $ y_s $) beim elektrischen Feld kleiner als beim magnetischen Feld. D.h. man kann beim elektrischen Feld mit kleineren Bildschirmen arbeiten als beim magnetischen Feld.
  - Legt man die Bildschirmgröße fest, so muss die Röhre beim elektrischen Feld größer sein als beim magnetischen Feld.
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Diese Aufgabe basiert auf einer Zentralabituraufgabe des Landes Sachsen-Anhalt. Die Originalversion ist im Downloadbereich für Abituraufgaben auf dem Bildungsserver Sachsen-Anhalt unter der Lizenz "Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike" verfügbar.

Die Lösungen zu dieser Aufgabe wurden vom Abi-Physik Team erstellt.

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Geschwindigkeit	\( v_0 \)	\( = 6,0e6 \,\, \frac{m}{s} \)
Länge des Kondensators	\( \ell \)	\( = 40 \,\, mm \)
Plattenabstand	\( d \)	\( = 48 \,\, mm \)
Kondensatorspannung	\( U_K \)	\( = 240 \,\, V \)

Elektrisches Feld

Berechnen der Strecke

Berechnen des Austrittswinkels

Magnetisches Feld

Vergleich