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Masse und die spezifische Ladung eines Elektrons
Einleitung
Aus der Ablenkung von Elektronen in homogenen Magnetfeldern kann man bestimmte Erkenntnisse erzielen. Zum Beispiel kann die spezifische Ladung \( \frac{e}{m} \), also der Quotient aus Ladung und Masse eines Elektrons, bestimmt werden.
Aufbau des Experiments
In dem homogenen Magnetfeld einer Helmholtz-Spule befindet sich eine spezielle Röhre mit einer Glühkathode und einer Lochanode.
Aus der Glühkathode treten Elektronen aus, welche im elektrischen Feld zwischen dieser und der Lochanode beschleunigt werden. Dann werden sie im homogenen Magnetfeld der Helmholtz-Spule abgelenkt. Die Lorentzkraft wirkt hier als Zentripetalkraft und lenkt die Elektronen auf eine Kreisbahn, deren Durchmesser an einer Skala abgelesen werden kann.
Die Röhre ist mit einem bestimmten Gas gefüllt, welches durch die Elektronen zum Leuchten angeregt wird. Dadurch kann man die Bahn der Elektronen mit bloßem Auge sehen.
Simulation
Elektronenstrahl
Glühkathode
Lochanode
\( U_B = \) -1 \( V\)
\( d \) = -1 \( cm\)
Berechnungen
Beschleunigung im elektrischen Feld
Die Elektronen werden im elektrischen Feld zwischen Glühkathode und Lochanode beschleunigt. Dabei wird den Elektronen die elektrische Energie \( E_{el} = U_B \cdot e \) zugeführt und in kinetische Energie umgewandelt. Es gilt daher:
\begin{aligned} E_{kin} & = E_{el} \\ \dfrac{m_e}{2} \cdot v^2 & = U \cdot e \\ \end{aligned}Dies stellt man zunächst nach der Geschwindigkeit \( v \) um:
\begin{aligned} \dfrac{m_e}{2} \cdot v^2 & = U \cdot e \\ v^2 & = \dfrac{2 \, U \, e}{m_e} \\ v & = \sqrt{ \dfrac{2 \, U \, e}{m_e} } \\ \end{aligned}Ablenkung im magnetischen Feld
Wie in Bahnform von Ladungen in Magnetfeldern beschrieben, zwingt die Lorentzkraft die Elektronen auf eine Kreisbahn, für die gilt:
$$ q \cdot B = \dfrac{m \cdot v}{r} $$Dort wird nun die Geschwindigkeit und die Ladung der Elektronen eingesetzt:
\begin{aligned} e \cdot B & = \dfrac{m \cdot \sqrt{ \dfrac{2 \, U \, e}{m} }}{r} \\ \end{aligned}Die Gleichung wird quadriert:
\begin{aligned} e^{\cancel 2} \cdot B^2 & = \dfrac{m^{\cancel 2} \cdot \dfrac{2 \, U \, \cancel e}{\cancel m} }{r^2} \\ e \cdot B^2 & = \dfrac{2 \, U \, m}{r^2} \\ \end{aligned}Und dann nach der spezifischen Ladung umgestellt:
\begin{aligned} \dfrac{e}{m} & = \dfrac{2 \, U}{B^2 \cdot r^2} \\ \end{aligned}Die Größen auf der rechten Seite der Gleichung können alle im Experiment abgelesen werden und so die spezifische Ladung eines Elektrons bestimmt werden.
Quellen
- Wikipedia: Artikel über "Helmholtz-Spule"
- Wikipedia: Artikel über "Lorentzkraft"
- Wikipedia: Artikel über "Magnetische Flussdichte"
- Wikipedia: Artikel über "Magnetismus"
Literatur
- English version: Article about "Mass und Charge of an Electron"