1. Das Elektroskop entlädt sich nicht, da die Frequenz des Infrarotlichts und damit die Energie der Photonen zu gering ist, um Elektronen aus der Zinkplatte zu lösen.
2. Das Elektroskop entlädt sich nicht, da die Frequenz des grünen Lichts und damit die Energie der Photonen zu gering ist, um Elektronen aus der Zinkplatte zu lösen.
3. Das Elektroskop entlädt sich, da die Frequenz des ultravioletten Licht einer Quecksilberhochdrucklampe und damit die Energie der Photonen größer als die Ablösearbeit von Zink ist.
4. Geht man davon aus, dass die Glasplatte das UV-Licht absorbiert, so findet keine Entladung des Elektroskops statt.
5. Das Elektroskop wird wie schon bei Teilexperiment (3.) entladen, jedoch dauert der Vorgang in diesem Fall länger, da die Intensität des Lichts geringer ist.
6. Das Elektroskop entlädt sich nicht, da die Zinkplatte positiv geladen ist und sich deshalb keine ablösbaren Elektronen auf der Platte befinden.

Ein Experiment zur Bestimmung der kinetischen Energie der schnellsten Fotoelektronen ist die Gegenfeldmethode (siehe Skizze).

Das Licht löst aus der Fotokathode Elektronen heraus, welche sich mit unterschiedlichen kinetischen Energien zur Anode bewegen. Es fließt der Fotostrom \( I \).

Nun wird eine Gegenspannung \( U \) angelegt, welche dazu führt, dass sich ein elektrisches Feld bildet, welches der Bewegung der Elektronen entgegenwirkt. Langsam wird diese Spannung erhöht, sodass immer weniger Elektronen die Anode erreichen und somit der Fotostrom sinkt. Erreicht die Gegenspannung einen bestimmten Grenzwert, so kommen selbst die schnellsten Elektronen nur noch bis kurz vor die Anode und kehren dann um. Es fließt dann kein Fotostrom mehr.

Man kann nun die Gegenspannung messen und über folgende Energiebilanz die maximate kinetische Energie der Elektronen berechnen:

$$ E_\rm{kin} = E_\rm{el} = q \cdot U = e \cdot U $$

Berechnung der Energie und Geschwindigkeit

Zunächst wird die kinetische Energie berechnet:

\begin{aligned} \lambda &= 400 \,\, nm = 4,0e-7 \,\, m \\ \\ W_\rm{A} &= 2,0 \,\, eV = 3,204e-19 \,\, J \\ \\ c &= 3,0e8 \,\, m \\ \end{aligned}
\begin{aligned} E_\rm{kin} &= E_\rm{Ph} - W_\rm{A} = h \cdot f - W_\rm{A} = h \cdot \dfrac{c}{\lambda} - W_\rm{A} \\ E_\rm{kin} &= 6,626e-34 \,\, J \cdot s \cdot \dfrac{ 3,0e8 \,\, m }{4,0e-7 \,\, m \cdot s} - 3,204e-19 \,\, J \\ \\ E_\rm{kin} &= 1,766e.19 \,\, J = 1,1 \,\, eV \end{aligned}

Daraus kann die Geschwindigkeit der Elektronen berechnet werden:

\begin{aligned} E_\rm{kin} &= \dfrac{m}{2} \cdot v^2 \\ \\ \dfrac{2 \cdot E_\rm{kin}}{m} &= v^2 \\ \\ \sqrt{ \dfrac{2 \cdot E_\rm{kin}}{m} } &= v \\ \\ \end{aligned} $$ v = \sqrt{ \dfrac{2 \cdot 1,766e-19 \,\, J}{9,11e-31 \,\, kg} } = 6,2e5 \,\, \dfrac{m}{s} $$

Begründung

Die Elektronengeschwindigkeit ist deutlich geringer als \( 10 \% \) der Lichtgeschwindigkeit \( c \). Daher kann man fehlerfrei auf klassischem Weg rechnen.

$$ v = 6,2e5 \,\, \dfrac{m}{s} = 0,002 \cdot c = 0,2 \% \cdot c $$

Das Licht bewirkt eine Herauslösung von Elektronen aus der Fotokathode, die sich daraufhin mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten durch die Röhre bewegen. Die Lochblenden sorgen dafür, dass nur diejenigen Elektronen in das homogene Magnetfeld gelangen, die sich entlang der Mitte der Röhre bewegen. Diese Elektronen bewegen sich dann im Magnetfeld senkrecht zu den Feldlinien und werden somit durch die Lorentzkraft auf eine Kreisbahn abgelenkt. Da die Lorentzkraft in diesem Fall als Zentripetalkraft wirkt, kann man den Radius der Kreisbahn folgendermaßen bestimmen:

\begin{aligned} F_\rm{Z} &= F_\rm{L} \\ \\ \dfrac{m}{r} \cdot v^2 &= e \cdot v \cdot B \\ \\ r &= \dfrac{m \cdot v}{e \cdot B} \\ \\ \end{aligned}

Geht man von einer konstanten magnetischen Flussdichte \( B \) aus, so hängt der Radius der Kreisbahn nur von der Geschwindigkeit ab. Da die Elektronen unterschiedliche Geschwindigkeiten haben, kommen sie an verschiedenen Stellen am Schirm an und es bildet sich eine Linie. Die Breite dieser Linie hängt dabei von der größten Geschwindigkeit \( v_\rm{max} \) ab, da die Elektronen mit dieser Geschwindigkeit sich auf dem größten Radius \( r_\rm{max} \) bewegen.

Herleitung der Gleichung

Benutzt man die Formel aus Aufgabenteil a), so kann man die maximale Geschwindigkeit der Elektronen in Abhängigkeit von dem größten Radius bestimmen:

\begin{aligned} r_\rm{max} &= \dfrac{m \cdot v_\rm{max}}{e \cdot B} \\ \\ v_\rm{max} &= \dfrac{e \cdot B \cdot r_\rm{max}}{m} \\ \\ \end{aligned}

Dies setzt man nun in die Formel für die kinetische Energie ein:

$$ E_\rm{kin, max} = \dfrac{m}{2} \cdot (v_\rm{max})^2 = \dfrac{m}{2} \cdot \left( \dfrac{e \cdot B \cdot r_\rm{max}}{m} \right)^2 = \dfrac{m}{2} \cdot \dfrac{e^2 \cdot B^2 \cdot (r_\rm{max})^2}{m^2} = \dfrac{e^2 \cdot B^2 \cdot (r_\rm{max})^2}{2 \,\, m} $$

Bezug zwischen Radius \( \ell \) und \( s \)

Zunächst zwei Skizzen für die beiden möglichen Fälle \( s < r_\rm{max} \) und \( s > r_\rm{max} \).

In beiden Fällen kann man den Satz des Pythagoras auf das graue Dreieck anwenden und erhält:

$$ (r_\rm{max})^2 = \ell^2 + x^2 $$

Man setzt nun für x eine der beiden Beziehungen der obigen Skizzen ein und erhält in beiden Fällen:

\begin{aligned} (r_\rm{max})^2 &= \ell^2 + x^2 \\ \\ (r_\rm{max})^2 &= \ell^2 + (s - r_\rm{max})^2 \\ \\ (r_\rm{max})^2 &= \ell^2 + s^2 - 2 \cdot r_\rm{max} \cdot s + (r_\rm{max})^2 \\ \\ 0 &= \ell^2 + s^2 - 2 \cdot r_\rm{max} \cdot s \\ \\ -\ell^2 - s^2 &= - 2 \cdot r_\rm{max} \cdot s \\ \\ \ell^2 + s^2 &= 2 \cdot r_\rm{max} \cdot s \\ \\ \dfrac{ \ell^2 + s^2 }{2 \,\, s} &= r_\rm{max} \\ \end{aligned}

Berechnung der Radien und kinetischen Energien

Für jedes Wertepaar kann zunächst mit der zweiten Formel aus der vorherigen Teilaufgabe der maximale Radius \( r_\rm{max} \) bestimmt werden.

$$ r_\rm{max} = \dfrac{\ell^2 + s^2}{2 \,\, s} $$

Zur Berechnung der kinetischen Energie der schnellsten Fotoelektronen kann dann die erste Formel aus der vorherigen Teilaufgabe verwendet werden.

$$ E_\rm{kin, max} = \dfrac{e^2 \cdot B^2 \cdot (r_\rm{max})^2}{2 \,\, m} $$

\( f \) in \( 10^{14} \,\, Hz \)	6,8	7,1	7,4	7,7
\( \ell \) in \( cm \)	1,5	2,4	3,0	3,4
\( r_\rm{max} \) in \( cm \)	2,3	2,7	3,1	3,5
\( E_\rm{kin, max} \) in \( eV \)	0,30	0,41	0,54	0,69

Diagramm

Bestimmung der gesuchten physikalischen Größen

Das Planck'sche Wirkungsquantum \( h \) entspricht der Steigung der Geraden und kann daher über ein Steigungsdreieck berechnet werden. Mit dem ersten und letzten Wertepaar aus der Tabelle ergibt sich:

$$ h = \dfrac{\Delta E}{\Delta f} = \dfrac{E_4 - E_1}{f_4 - f_1} = \dfrac{0,69 \,\, eV - 0,30 \,\, eV}{(7,7 - 6,8) \cdot 10^{14} \,\, Hz} = 6,9e-34 \,\, J $$

Die Ablöseenergie \( W_A \) und die Grenzfrequenz \( f_G \) kann man direkt im Diagramm an den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen ablesen.

$$ W_A = 2,5 \,\, eV \qquad \qquad f_G = 6,1e14 Hz $$

Die kleinste Frequenz bei der Elektronen herausgelöst werden ist die Grenzfrequenz. Sie beträgt:

$$ f_G = \dfrac{W_A}{h} = \dfrac{2,5 \,\, eV}{6,626e-34 \,\, J \cdot s} = \dfrac{4,04e-19 \,\, J}{6,626e-34 \,\, J \cdot s} = 6,1e14 \,\, Hz $$

Damit kein Bild auf dem Schirm erscheint, muss der Radius der Kreisbahn der Elektronen kleiner als die Hälfte von \( s \) sein:

$$ r = \dfrac{s}{2} $$

Da im Magnetfeld die Lorentzkraft als Zentripetalkraft wirkt, kann man aus diesem Radius die Geschwindigkeit der Elektronen bestimmen:

\begin{aligned} F_\rm{Z} &= F_\rm{L} \\ \\ \dfrac{m}{r} \cdot v^2 &= e \cdot v \cdot B \\ \\ v &= \dfrac{r \cdot e \cdot B}{m} \\ \\ v &= \dfrac{s \cdot e \cdot B}{2 \,\, m} \\ \\ \end{aligned}

Diese Geschwindigkeit kann nun in die Gleichung für den Fotoeffekt eingesetzt werde, um die Grenzfrequenz zu bestimmen.

\begin{aligned} E_\rm{Ph} &= E_\rm{kin} + W_A \\ \\ h \cdot f_\rm{max} &= \dfrac{m}{2} \cdot v^2 + W_A \\ \\ f_\rm{max} &= \dfrac{m}{2 \,\, h} \cdot v^2 + f_G \\ \\ f_\rm{max} &= \dfrac{m}{2 \,\, h} \cdot \left( \dfrac{s \cdot e \cdot B}{2 \,\, m} \right)^2 + f_G \\ \\ f_\rm{max} &= \dfrac{\cancel m}{2 \,\, h} \cdot \dfrac{s^2 \cdot e^2 \cdot B^2}{4 \,\, m^{\cancel 2}} + f_G \\ \\ f_\rm{max} &= \dfrac{s^2 \cdot e^2 \cdot B^2}{8 \,\, h \,\, m} + f_G \\ \\ f_\rm{max} &= \dfrac{(4e-2 \,\, m)^2 \cdot (1,602e-19 \,\, C)^2 \cdot (8e-5 \,\, T)^2}{8 \cdot 6,626e-34 \,\, J \cdot s \cdot 9,11e-31 \,\, kg} + 6,1e14 \,\, Hz \\ \\ f_\rm{max} &= 6,6e14 \,\, Hz \\ \\ \end{aligned}

Das Frequenzintervall ist: \( 6,1e14 \,\, Hz \lt f \lt 6,6e14 \,\, Hz \)

1. Verringert man die magnetische Flussdichte, so wird die Lorentzkraft schwächer und die Elektronen werden auf eine Kreisbahn mit größerem Radius abgelenkt. Daher nimmt die Länge des Bildes auf dem Schirm zu.
2. Ersetzt man die verwendete Bariumkathode mit einer Ablösearbeit von \( 2,5 \,\, eV \) durch eine Caesiumkathode mit einer Ablösearbeit von \( 1,94 \,\, eV \), würde eine größerer Anteil der Photonenenergie in kinetische Energie der Elektronen umgewandelt. Die Elektronen wären daher schneller und damit würde auch der Radius der Kreisbahn steigen, was zu einer Zunahme der Bildlänge führen würde.