Zunächst wird eine Wertetabelle erstellt:

Entfernung \( r \) vom Mittelpunkt des Mondes in \( km \)	1738	1849	1938	2238	2738
\( \dfrac{1}{r^2} \) in \( 10^{-13} \,\, \dfrac{1}{m^2} \)	3,311	2,925	2,663	1,997	1,334
\( G' \) in \( \dfrac{N}{kg} \)	1,62	1,43	1,30	0,98	0,65

Das Diagramm zeigt, dass die gegebenen Punkte auf einer Gerade liegen, die im Ursprung mündet. D.h. \( G' \) ist proportional zu \( \dfrac{1}{r^2} \). Mit dem Proportionalitätsfaktor \( k \) ergibt sich die zu begründende Gleichung:

$$ G'(r) = k \cdot \dfrac{1}{r^2} $$

Berechnung des Proportionalitätsfaktors

Da der Proportionalitätsfaktor \( k \) gleich dem Anstieg der Geraden ist, kann man ihn über ein Steigungsdreieck berechnen.

$$ k = \dfrac{ \Delta G' }{ \Delta \dfrac{1}{r^2} } = \dfrac{ G'_5 - G'_1 }{ \dfrac{1}{(r_5)^2} - \dfrac{1}{(r_1)^2} } = \dfrac{ 1,62 \,\, \dfrac{m}{s^2} - 0,65 \,\, \dfrac{m}{s^2} }{ 3,311e-13 \,\, \dfrac{1}{m^2} - 1,334e-13 \,\, \dfrac{1}{m^2} } = 4,9e12 \,\, \dfrac{m^3}{s^2} $$

Berechnung der Masse des Erdmondes

Die Kraft die auf einen Körper in der Nähe des Mondes wirkt, kann auf zwei Arten bestimmt werden.

Über das Gravitationsgesetz (\( \lambda \) = Gravitationskonstante):

$$ F = \lambda \cdot \dfrac{ m \cdot m_\rm{Mond} }{ r^2 } $$

Über das Newton'sche Grundgesetz:

$$ F = m \cdot a = m \cdot G'(r) = m \cdot k \cdot \dfrac{1}{r^2} $$

Setzt man diese beiden Formeln gleich, kann man die Masse des Mondes berechnen:

\begin{aligned} \lambda \cdot \dfrac{ \cancel m \cdot m_\rm{Mond} }{ \cancel r^2 } &= \cancel m \cdot k \cdot \dfrac{1}{\cancel r^2} \\ \\ \lambda \cdot m_\rm{Mond} &= k \\ \\ m_\rm{Mond} &= \dfrac{k}{\lambda} \\ \\ m_\rm{Mond} &= \dfrac{ 4,9e12 \,\, \dfrac{\cancel m^3}{\cancel s^2} }{ 6,67e-11 \,\, \dfrac{ \cancel m^3}{\cancel s^2 \cdot kg} } \\ \\ m_\rm{Mond} &= 7,35e22 \,\, kg \\ \\ \end{aligned}

Aus der in a) hergeleiteten Proportionalität \( G' \sim \dfrac{1}{r^2} \) geht hervor, dass die Gravitationskraft in der Nähe eines Himmelskörpers nicht linear verläuft, sondern mit nunehmender Entfernung quadratisch abnimmt.

Anhand des Graphen kann man erkennen wie sich die Kraftwirkung auf den Probekörper verändert, wenn er sich von der Erde entfernt. In Erdnähe wirkt die Erdanziehung entgegen der Bewegungsrichtung des Körpers. Der Graph beginnt daher im negativen Bereich.

Mit nunehmender Entfernung von der Erde nimmt deren Anziehungkraft wie oben beschrieben quadratisch ab und die Anziehungskraft des Mondes, welche in Bewegungsrichtung des Körpers wirkt, steigt an. Daher nähert sich der Graph immer schneller der r-Achse.

Hat sich der Körper \( 346000 \,\, km \) von der Erde entfernt, was im Diagramm dem Punkt \( P \) entspricht, so heben sich die Anziehungskraft der Erde und des Mondes gegenseitig auf. Im Graphen wird dies durch die Nullstelle deutlich.

Bewegt sich der Körper nun weiter, so nimmt die Anziehungskraft des Mondes quadratisch zu, sodass der Graph nun im positiven Bereich immer stärker ansteigt.

Aufgrund der Nähe zur Erde und Mond wurden in dieser Erläuterung nur die Gravitationskräfte dieser beiden Himmelskörper betrachtet werden. Die Anziehung anderer Planeten oder der Sonne ist gegenüber diesen beiden Kräften sehr gering und daher vernachlässigbar.

Abschnitt I

ungleichmäßig beschleunigte Bewegung

Triebwerke sind aktiv

Der Raumflugkörper startet zunächst durch den Schub der Triebwerke von der Erdoberfläche und navigiert dann auf eine stabile Erdumlaufbahn. Dabei sinkt durch die zunehmende Entfernung von der Erde die Erdbeschleunigung \( g \) und außerdem durch den Treibstoffverbrauch der Triebwerke die Masse \( m \) des Raumflugkörpers. Die Bewegungsform in diesem Abschnitt ist daher eine ungleichmäßig beschleunigte Bewegung.

Abschnitt II

gleichförmige Kreisbewegung / gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Triebwerke sind inaktiv

Der Raumflugkörper bewegt sich nun auf einer stabilen Umlaufbahn um die Erde herum. Die Triebwerke werden daher nicht benötigt.

Es handelt sich hierbei um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung, da die Gravitationskraft der Erde als Zentripetalkraft wirkt und den Raumflugkörper somit auf die Kreisbahn um die Erde zwingt. Dabei ist die Geschwindigkeit des Körpers konstant, es ändert sich lediglich seine Richtung.

Man kann diesen Abschnitt allerdings auch als gleichförmige Kreisbewegung beschreiben, da sich der Raumflugkörper mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn bewegt.

Abschnitt III

ungleichmäßig beschleunigte Bewegung

Triebwerke sind aktiv

Der Raumflugkörper verlässt in diesem Abschnitt mit Hilfe der Triebwerke seine Umlaufbahn um die Erde. Danach werden die Triebwerke zunächst nicht benötigt, da der Raumflugköper genügend Geschwindigkeit besitzt, um den Weg zum Mond zurückzulegen. In der Nähe des Mondes verringert der Raumflugkörper mit Hilfe der Triebwerke seine Geschwindigkeit, um auf einer stabile Mondumlaufbahn zu gelangen.

Bei dem gesamten Vorgang handelt es sich um eine ungleichmäßig beschleunigte Bewegung, da sich die Gravitationskräfte von Erde und Mond sich je nach Position des Raumflugkörpers ständig ändern.

Berechnung der Geschwindigkeit

Collins Raumschiff bewegt sich auf einer Kreisbahn um den Mond, wobei die Gravitationskraft als Zentripetalkraft wirkt. Es gilt daher:

\begin{aligned} F_Z &= F_G \\ \\ \dfrac{ \cancel{m_\rm{Schiff}} }{ \cancel r } \cdot v^2 &= \lambda \cdot \dfrac{ \cancel{m_\rm{Schiff}} \cdot m_\rm{Mond} }{ r^{\cancel 2} } \\ \\ v^2 &= \dfrac{ \lambda \cdot m_\rm{Mond} }{r} \\ \\ \end{aligned}

Da das Raumschiff von Collins sich in \( h = 111 \,\, km \) Höhe über der Mondoberfläche befindet, ist es \( r = r_\rm{Mond} + h \) vom Mondmittelpunkt entfernt.

Aus der Formelsammlung erhält man den Radius des Mondes \( r_M = 1738 \,\, km = 1,738e6 \,\, m \).

\begin{aligned} v^2 &= \dfrac{ \lambda \cdot m_\rm{Mond} }{ r } \\ \\ v &= \sqrt{ \dfrac{ \lambda \cdot m_\rm{Mond} }{ r_\rm{Mond} + h } } \\ \\ v &= \sqrt{ \dfrac{ 6,67e-11 \,\, \frac{m^3}{s^2 \cdot \cancel{kg}} \cdot 7,35e22 \,\, \cancel{kg} }{ 1,738e6 \,\, m + 1,11e5 \,\, m } } \\ \\ v &= \sqrt{ \dfrac{ 6,67e-11 \,\, \frac{m^2}{s^2} \cdot 7,35e22 }{ 1,738e6 + 1,11e5 } } \\ \\ v &= 1629 \,\, \dfrac{m}{s} \\ \\ \end{aligned}

Berechnung der Umkreiszeit

Michael Collins umfliegt den Mond auf einer Kreisbahn mit dem Radius \( r = r_M + h \). Er muss also die folgende Wegstrecke \( s \) (= Umfang der Kreisbahn) zurücklegen:

$$ s = 2 \,\, \pi \,\, r = 2 \,\, \pi \,\, (r_M + h) $$

Mit der berechneten Geschwindigkeit kann darüber die Umkreiszeit berechnet werden.

$$ t = \dfrac{s}{v} = \dfrac{2 \,\, \pi \,\, (r_M + h)}{v} = \dfrac{2 \,\, \pi \,\, (1,738e6 \,\, m + 1,11e5 \,\, m)}{1630 \dfrac{m}{s}} = 7127,4 \,\, s \approx 119 \,\, min $$