Modellexperiment zur Geschwindigkeitsverteilung

Bei der kinetisch-statistischen Betrachtungsweise in der Thermodynamik sind Kenntnisse über Teilchengeschwindigkeiten bzw. Geschwindigkeitsverteilungen bedeutsam. Diese lassen sich u. a. aus Real- sowie aus Modellexperimenten gewinnen. Im Folgenden wird ein Modellexperiment beschrieben.

Durchführung

In das dargestellte Gerät (Bild 1) werden eine bestimmte Anzahl \( N \) gleichartiger kleiner Stahlkugeln gefüllt, die das Modellgas darstellen. Mittels einer beweglichen Bodenplatte wird den Kügelchen periodisch Energie zugeführt, die sie in ungeordnete Bewegungen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten versetzt. Im quaderförmigen Behälter befindet sich seitlich eine kleine Öffnung. Durch diese können die Kugeln nach außen gelangen.

Die Bewegung der austretenden Kugeln wird als waagerechter Wurf betrachtet.

Die Wurfweite wird mit einer sektorenförmigen Auffangvorrichtung, die in zwanzig kreisringförmige Kammern mit gleicher Kammerbreite \( d \) aufgeteilt ist, ermittelt. Für jede Kammer wird die Anzahl \( N_i \) der aufgefangenen Kugeln bestimmt.

Aus der Höhe \( h \) (Abstand zwischen Öffnung und Oberkante der Auffangvorrichtung) und der Wurfweite in x-Richtung lässt sich die zugehörige Geschwindigkeit berechnen (Bild 2).

Während des Versuchs werden die Frequenz des Erregermechanismus sowie die Gesamtzahl \( N \) der Kugeln im Behälter konstant gehalten.

Messwerte

Kammer Nr. \( i \)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Anzahl \( N_i \)	14	38	69	81	80	84	74	55	39	35
Kammer Nr. \( i \)	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Anzahl \( N_i \)	31	27	16	13	10	11	8	7	5	3

Anzahl der aufgefangenen Kugeln \( N_\rm{ges} = 700 \), \( h = 4 \,\, cm \), \( d = 1 \,\, cm \)

Masse einer Kugel: \( m = 0,2 \,\, g \)

Aufgaben

1. Zeichnen Sie ein \( N_i(i) \)-Streifendiagramm (Histogramm).

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2. In der Tabelle ist der Zusammenhang zwischen dem Auftreffort (Kammernummer) und der Austrittsgeschwindigkeit dargestellt.

   Kammer Nr. \( i \)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
   \( v_i \) in \( \frac{m}{s} \)	0,06	0,17	0,28	0,39	0,50	0,61	0,72	0,83	0,94	1,05
   Kammer Nr. \( i \)	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
   \( v_i \) in \( \frac{m}{s} \)	1,16	1,27	1,38	1,49	1,61	1,72	1,83	1,94	2,05

   Zeigen Sie, dass für die Berechnung der Geschwindigkeiten \( v_i \) die folgende Gleichung gilt, wenn davon ausgegangen werden soll, dass die Kugeln nach dem waagerechten Wurf genau in der Kammermitte auftreffen. $$ v_i = \left( \dfrac{d}{2} + (i-1) \cdot d \right) - \sqrt{ \dfrac{g}{2 \,\, h} } $$

   Berechnen Sie die in der Tabelle noch fehlende Geschwindigkeit.

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3. Stellen Sie die Geschwindigkeitsverteilung \( N(v) \) in einem Diagramm dar.

   Beschreiben Sie den Zusammenhang zwischen \( N \) und \( v \) mithilfe des Graphen.

   Bestimmen Sie für dieses Experiment aus den Messwerten die wahrscheinlichste Teilchengeschwindigkeit und die mittlere kinetische Energie der Teilchen.

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4. Erläutern Sie anhand zweier Versuchsbedingungen, wie Grundannahmen des idealen Gases bei diesem Modellexperiment möglichst gut erfüllt werden können.

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