Skizze

Die elektrische Feldkraft \( F_\rm{el} \) und die Gewichtskraft \( F_G \) bilden ein Kräfteparallelogramm. Die resultierende Kraft ist die Seilkraft \( F_S \).

Änderung des Auslenkungswinkels

1. Die Spannung \( U \) am Kondensator wird verringert.

   Die elektrische Feldstärke \( E = \frac{U}{d} \) wird kleiner und damit auch die elektrische Feldkraft \( F_\rm{el} = E \cdot q \). Dadurch wird die Kugel nicht so stark abgelenkt, d.h. der Auslenkungswinkel \( \alpha \) ist kleiner.

2. Der Betrag der Ladung der Kugel wird vergrößert.

   Die elektrische Feldkraft \( F_\rm{el} = E \cdot q \) wird größer. Dadurch wir ddie Kugel stärker abgelenkt, d.h. der Auslenkungswinkel \( \alpha \) ist größer.

3. Der Plattenabstand wird bei konstanter Spannung vergrößert.

   Die elektrische Feldstärke \( E = \frac{U}{d} \) wird bei größerem Plattenabstand \( d \) kleiner und damit auch die elektrische Feldkraft \( F_\rm{el} = E \cdot q \). Dadurch wird die Kugel nicht so stark abgelenkt, d.h. der Auslenkungswinkel \( \alpha \) ist kleiner.

4. Der Kondensator wird von der Spannungsquelle getrennt und der Plattenabstand wird vergrößert.

   Die elektrische Feldstärke und damit auch die Feldkraft bleiben konstant, da sich die Anzahl der Ladungen auf den Platten nicht ändert. Der Auslenkungswinkel \( \alpha \) bleibt gleich.

Auslenkungswinkel

Anhand dem Kräfteparallelogramm in der rechten Skizze stellt man fest:

$$ \tan \alpha = \dfrac{F_\rm{el}}{F_G} $$

Mit \( F_G = m \cdot g \) und \( F_\rm{el} = E \cdot q \) ergibt sich:

\begin{aligned} \tan \alpha &= \dfrac{E \cdot q}{m \cdot g} \qquad | \qquad E = \dfrac{U}{d} \\ \\ \tan \alpha &= \dfrac{U \cdot q}{d \cdot m \cdot g} \\ \\ \tan \alpha &= \dfrac{100e3 \,\, V \cdot 2e-9 \,\, C}{0,3 \,\, m \cdot 0,5e-3 \,\, kg \cdot 9,81 \,\, \frac{m}{s^2}} \\ \\ \tan \alpha &= 0,136 \\ \\ \alpha &= 7,7^\circ \\ \\ \end{aligned}

Plattenfläche

Die Formel für die Kapazität eines Kondensators wird nach der Plattenfläche \( A \) umgestellt:

\begin{aligned} C &= \epsilon_0 \cdot \epsilon_r \cdot \dfrac{A}{d} \\ \\ A &= \dfrac{C \cdot d}{\epsilon_0 \cdot \epsilon_r} \\ \\ A &= \dfrac{5,0e-12 \,\, F \cdot 0,3 \,\, m}{8,845e-12 \frac{As}{Vm} \cdot 1,0006} \\ \\ A &\approx 0,17 \,\, m^2 \\ \\ \end{aligned}

Verhältnis der Energien

Aus der Formel für die Kapazität eines Kondensators \( C = \epsilon_0 \cdot \epsilon_r \cdot \dfrac{A}{d} \) folgert man: \( C \sim \dfrac{A}{d} \)

Man verdoppelt bei gleicher Plattenfläche den Abstand, daher halbiert sich die Kapazität des Kondensators.

Aus der Formel für die Energie eines Kondensators \( E_\rm{el} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{Q^2}{C} \) folgert man: \( E \sim \dfrac{Q^2}{C} \)

Da die Kapazität bei konstanter Ladung halbiert wird, verdoppelt sich die Energie des Kondensators.

$$ \dfrac{ E_\rm{el, nach} }{ E_\rm{el, vor} } = 2 $$

Erklärung der Energiezunahme

Um den Plattenabstand zu vergrößern, wird Arbeit gegen das Feld verrichtet, wodurch die Energie des Kondensators steigt.

Für Kapazität des Kondensators gilt:

$$ C \sim \dfrac{A}{d} $$

Der Schall bewirkt eine Auslenkung der Membran und damit eine Veränderung des Plattenabstandes. Dadurch verändert sich auch die Kapazität des Kondensators (siehe obige Beziehung). Dies führt zu einem Stromfluss über den Widerstand. Die beiden Anschlüsse sind mit dem Verstärker verbunden, welcher die Spannung \( U_R \), welche über dem Widerstand abfällt, auswertet. Für \( U_R \) gilt:

$$ U_R = R \cdot I_R $$

Ladung auf den Platten

Die Formel für die Berechnung der Kapazität erhält man aus der Formelsammlung:

$$ C = \epsilon_0 \cdot \epsilon_r \cdot \dfrac{A}{d} $$

Mit \( C = \dfrac{Q}{U} \,\, \Rightarrow \,\, Q = C \cdot U \) gilt:

\begin{aligned} Q_1 &= \epsilon_0 \cdot \epsilon_r \cdot \dfrac{A}{d} \cdot U \\ \\ Q_1 &= 8,845e{-12} \cdot \dfrac{As}{Vm} \cdot 1,0006 \cdot \dfrac{10e-4 \,\, m^2}{2e-4 \,\, m} \cdot 40 \,\, V \\ \\ Q_1 &= 1,77e-9 \,\, As = 1,77 \,\, nC \\ \\ \end{aligned}

Mittlere Spannung

Die Ladung nach der Auslenkung der Membran nach innen lässt sich auf gleichem Wege bestimmen. Der Abstand der Platten hat sich um \( \Delta s \) verringert.

\begin{aligned} Q_2 &= \epsilon_0 \cdot \epsilon_r \cdot \dfrac{A}{d - \Delta s} \cdot U \\ \\ Q_2 &= 8,845e{-12} \cdot \dfrac{As}{Vm} \cdot 1,0006 \cdot \dfrac{10e-4 \,\, m^2}{(2 - 0,05) \cdot 10^{-4}} \cdot 40 \,\, V \\ \\ Q_2 &= 1,82e-9 \,\, As = 1,82 \,\, nC \\ \\ \end{aligned}

Damit hat sich die Ladung um \( \Delta Q = Q_2 - Q_1 \) erhöht.

Die Ladung \( \Delta Q \) fließt in der angegeben Zeit \( \Delta t \) auf den Kondensator. Man kann daher die mittlere Stromstärke bestimmen:

$$ \overline I = \dfrac{\Delta Q}{\Delta t} = \dfrac{Q_2 - Q_1}{\Delta t} = \dfrac{1,82e-9 \,\, As - 1,77e-9 \,\, A \cancel s}{2,5e-7 \,\, \cancel s} = 1,82e-4 \,\, A $$

Daraus kann man die mittlere Spannung berechnen:

$$ \overline U = R \cdot \overline I = 10e3 \,\, \Omega \cdot 1,82e-4 \,\, A = 10e3 \,\, \dfrac{V}{\cancel A} \cdot 1,82e-4 \,\, \cancel A = 1,82 \,\, V $$