Mit der industriellen Entwicklung im 18. und 19. Jahrhundert einher ging die Entwicklung der Thermodynamik. Die Nutzung thermischer Energie war und ist auch heute von großer Bedeutung.

1. Das Modell "ideales Gas" in der Thermodynamik

   Die für ideale Gase gefundenen Gesetze können auf reale Gase nur unter bestimmten Bedingungen angewandt werden.

   1. Nennen Sie Grundannahmen zum Modell des "idealen Gases".

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   2. Geben Sie zwei verschiedene Bedingungen an, unter denen das Modell auf reale Gase anwendbar ist. Begründen Sie Ihre Aussagen.

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2. Die Geschwindigkeit der Gasteilchen

   Maxwell und Boltzmann sagten bereits 1860 voraus, dass sich die Teilchen eines Gases nicht mit einer einheitlichen Geschwindigkeit bewegen, sondern die Geschwindigkeit der Gasteilchen einer Verteilung unterliegt.

   Otto Stern untersuchte um 1920 mithilfe des schematisch abgebildeten Experiments die Geschwindigkeit von Silberatomen (Bild 1). Für die Durchführung dieses Versuches und die Interpretation seiner Ergebnisse erhielt er 1943 den Nobelpreis für Physik.

   Versuchsbeschreibung:
   Im Vakuum befinden sich ein mit Silber überzogener Platindraht \( D \) und zwei koaxial angeordnete und starr miteinander verbundene Zylinder (\( Z_1 \), \( Z_2 \)). Der Draht wird erhitzt und zum Glühen gebracht. Die Silberatome verdampfen (bei \( 1200^\circ C \)) und es bildet sich ein Gas aus Silberatomen. Der innere Zylinder \( Z_2 \) hat eine kleine Öffnung. Ruhen die Zylinder, so treten die Silberatome durch die Öffnung und es entsteht auf der Innenseite des äußeren Zylinders \( Z_1 \) ein Niederschlag an der Stelle \( S_0 \). Lässt man die Zylinder mit einer konstanten Geschwindigkeit rotieren, so entsteht ein breiter verschmierter Niederschlag bei \( S_1 \).

   

   Daten:

   Außerer Radius	\( R \)	\( = 8,0 \,\, cm \)
   Abstand der Zylinder	\( \ell \)	\( = 5,0 \,\, cm \)
   Drehfrequenz	\( f \)	\( = 45 \,\, \frac{1}{s} \)
   Abstand \( \overline{S_0 S_1} \)	\( \Delta s \)	\( = 2,2 \,\, mm \)

   1. Leiten Sie die Gleichung zur Berechnung der Geschwindigkeit der Atome

      $$ v = \dfrac{2 \cdot \pi \cdot R \cdot \ell \cdot f}{\Delta s} $$

      entsprechend der Skizze im Bild 1 her.

      Berechnen Sie aus den Daten die Geschwindigkeit der Silberatome, die im Abstand Ds auftreffen.

      Ergebnis zur Kontrolle: \( v = 514 \,\, \frac{m}{s} \)

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   2. Der Niederschlag bei \( S_1 \) ist bedeutend breiter als bei \( S_0 \) (Bild 1).
      Begründen Sie dieses Phänomen.

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   3. Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit der Silberatome nach den Gesetzen der kinetischen Gastheorie bei einer Temperatur von \( 1200^\circ C \).

      Begründen Sie die Abweichung zum Ergebnis in Aufgabe 2a) Beziehen Sie dazu auch eine Skizze der Maxwell'schen Geschwindigkeitsverteilung ein, in der Sie die mittlere und die wahrscheinlichste Geschwindigkeit kennzeichnen.

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3. Der Heißluftballon

   Ein Heißluftballon habe ein Volumen von \( V_0 = 3000 \,\, m^3 \). Er sei mit Luft gefüllt bei einer Temperatur von \( T_1 = 20^\circ C \) und einem Druck von \( p_1 = 980 \,\, hPa \). Der Ballon hat einschließlich aller Zubehöre eine Masse \( m_B \) von \( 330 \,\, kg \).

   Unter Normbedingungen (\( 0^\circ C \), \( 1013 \,\, hPa \)) gilt: \( \rho_\rm{Luft} = 1,29 \,\, \dfrac{kg}{m^3} \).

   1. Berechnen Sie die Masse der Luft im Ballon bei \( 20^\circ C \).
      Ergebnis zur Kontrolle: \( m \approx 3500 \,\, kg \)

      Da die Dichte der Luft \( \rho_\rm{Luft} \) unter Normbedingen gegeben ist, kann zunächst die Masse von \( 3000 \,\, m^3 \) Luft unter Normbedingen berechnet werden.

      $$ m_0 = \rho_\rm{Luft} \cdot V_0 = 1,29 \,\, \dfrac{kg}{m^3} \cdot 3000 \,\, m^3 = 3870 \,\, kg $$

      Nun kann berechnet werden, auf welches Volumen sich die Luft im Ballon ausdehnt, wenn angegebenen Bedingungen (\( T_1 \), \( p_1 \)) gelten würden.

      \begin{aligned} \dfrac{p_0 \cdot V_0}{T_0} &= \dfrac{p_1 \cdot V_1}{T_1} \\ \\ V_1 &= \dfrac{T_1}{T_0} \cdot \dfrac{p_0}{p_1} \cdot V_0 \\ \\ V_1 &= \dfrac{293,15 \,\, K}{273,15 \,\, K} \cdot \dfrac{1013 \,\, hPa}{980 \,\, hPa} \cdot 3000 \,\, m^3 \\ \\ V_1 &\approx 3328,1 \,\, m^3 \\ \\ \end{aligned}

      Da der Ballon maximal \( V_0 = 3000 \,\, m^3 \) Luft fassen kann, entweicht der Luftüberschuss von \( \Delta V_1 = 328,1 \,\, m^3 \) aus dem Ballon. Das entspricht

      $$ \dfrac{\Delta V_1}{V_1} \cdot 100 \,\, \% = \dfrac{328,1 \,\, m^3}{3328,1 \,\, m^3} \cdot 100 \,\, \% = 9,86 \,\, \% $$

      der Luftteilchen.

      Die ausströmende Luft hat also die folgende Masse:

      $$ \Delta m_1 = m_0 \cdot 9,86 \,\, \% = 3870 \,\, kg \cdot 9,86 \,\, \% = 295,8 \,\, kg $$

      Die Masse der Luft im Ballon kann berechnet werden, indem von der vorherigen Masse die Masse der ausgeströmten Luft abgezogen wird:

      $$ m_1 = m_0 - \Delta m_1 = 3870 \,\, kg - 381,52 \,\, kg = 3488,5 \,\, kg \approx 3500 \,\, kg $$
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   2. Durch Zünden des Gasbrenners wird die Temperatur auf \( 110^\circ C \) erhöht.
      Berechnen Sie die Masse der dadurch ausströmenden Luft.

      Die Temperatur wird von \( T_1 = 20^\circ C \) auf \( T_2 = 110^\circ C \) erhöht. Da sich der Druck nicht ändert, handelt es sich um eine isobare Zustandsänderung und daher gilt:

      \begin{aligned} \dfrac{V_0}{T_1} &= \dfrac{V_2}{T_2} \\ \\ V_2 &= \dfrac{T_2}{T_1} \cdot V_0 = \dfrac{383,15 \,\, K}{293,15 \,\, K} \cdot 3000 \,\, m^3 = 3921 \,\, m^3 \\ \\ \end{aligned}

      Da der Ballon maximal \( V_0 = 3000 \,\, m^3 \) Luft fassen kann, entweicht der Luftüberschuss von \( \Delta V_2 = 921 \,\, m^3 \) aus dem Ballon. Das entspricht

      $$ \dfrac{\Delta V_2}{V_2} \cdot 100 \,\, \% = \dfrac{921 \,\, m^3}{3921 \,\, m^3} \cdot 100 \,\, \% = 23,49 \,\, \% $$

      der Luftteilchen.

      Die ausströmende Luft hat also die folgende Masse:

      $$ \Delta m_2 = m_1 \cdot 23,49 \,\, \% = 3488,5 \,\, kg \cdot 23,49 \,\, \% = 819,4 \,\, kg $$

      Die Masse der Luft im Ballon kann berechnet werden, indem von der vorherigen Masse die Masse der ausgeströmten Luft abgezogen wird:

      $$ m_2 = m_1 - \Delta m_2 = 3488,5 \,\, kg - 819,4 \,\, kg = 2669,1 \,\, kg $$
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   3. Zeigen Sie durch Rechnung, dass der Ballon mit einer Zuladung von \( 300 \,\, kg \) noch aufsteigen kann.

      Begründen Sie, warum trotz konstanter Lufttemperatur im Innern der Ballonhülle dieser nur eine bestimmte Höhe erreichen kann.

      Kann der Ballon aufsteigen?

      Gegeben: \( m_B = 330 \,\, kg \), \( m_\rm{Zuladung} = 300 \,\, kg \), \( m_2 = 2669,1 \,\, kg \)

      Die Gesamtmasse des Ballons ist daher \( m_\rm{ges} = m_B + m_\rm{Zuladung} + m_2 \).

      D.h. es wirkt eine Gewichtskraft von \( F_G = m_\rm{ges} \cdot g \) auf den Ballon.

      Es muss nun noch die Auftriebskraft bestimmt werden. Laut dem Gesetz von Archimedes gilt:
      Die Auftriebskraft \( F_A \) eines Körpers in einem Medium ist genauso groß wie die Gewichtskraft des vom Körper verdrängten Mediums.

      In diesem Fall werden \( 3000 \,\, m^3 \) Luft der Temperatur \( 20^\circ C \) verdrängt. Die Masse von diesem Volumen Luft bei dieser Temperatur wurde bereits in a) berechnet:

      $$ m_1 = 3488,5 \,\, kg $$

      Es gilt nun für die Auftriebskraft:

      $$ F_A = m_1 \cdot g $$

      Damit kann die resultierende Kraft auf den Ballon ausgerechnet werden. Die Auftriebskraft wirkt nach oben, die Gewichtskraft nach unten, also in die entgegengesetzte Richtung.

      \begin{aligned} F_\rm{res} &= F_A - F_G \\ \\ &= m_1 \cdot g - m_\rm{ges} \cdot g \\ \\ &= g \cdot (m_1 - m_\rm{ges}) \\ \\ &= g \cdot (m_1 - m_B + m_\rm{Zuladung} + m_2) \\ \\ &= 9,81 \dfrac{m}{s^2} \cdot (3488,5 \,\, kg - 330 \,\, kg + 300 \,\, kg + 2669,1 \,\, kg) \\ \\ &= 1858 \,\, N = 1,86 \,\, kN \end{aligned}

      Da die resultierende Kraft positiv ist also in Richtung der Auftriebskraft zeigt, steigt der Ballon auf.

      Begründung für begrenzte Aufstiegshöhe

      Mit steigender Höhe nimmt die Dichte der Luft um den Ballon immer weiter ab, dadurch sinkt die Masse der verdrängten Luft und damit auch die Aufstiegskraft. Bei einer bestimmten Höhe gilt \( |F_A| = |F_G| \), wodurch der Ballon nicht weiter aufsteigt.

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4. Das pneumatische Feuerzeug

   

   Rudolf Diesel soll als Schüler von einem Experiment mit einem pneumatischen Feuerzeug so beeindruckt gewesen sein, dass er versuchte, die beim Expandieren des Gases auftretende Energie technisch zu nutzen.

   Ein pneumatisches Feuerzeug (Bild 2) besteht aus einem einseitig verschlossenen Glasrohr, in dem ein dicht schließender Kolben reibungsfrei verschoben wird. Im Rohr befindet sich Watte, die z. B. mit Äther (Zündtemperatur \( 170^\circ C \)) getränkt ist. Wird die Luft im Kolben sehr schnell zusammengedrückt, so entzündet sich der Äther.

   In einem speziellen Fall befindet sich in einem zylindrischen Glasrohr Luft (\( p = 105 \,\, Pa \), \( J = 20^\circ C \)). Sie wird auf ein Zehntel des ursprünglichen Volumens zusammengedrückt. Dabei entzündet sich der Äther.

   Es handelt sich hierbei um eine adiabatische Zustandsänderung.

   1. Was versteht man unter einer adiabatischen Zustandsänderung?
      Wenden Sie den ersten Hauptsatz der Thermodynamik auf diesen an. Geben Sie Möglichkeiten der näherungsweisen Realisierung an.
      Geben Sie einen weiteren Vorgang in Natur oder Technik an, den man als adiabatische Zustandsänderung betrachten kann.

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   2. Für den Kompressionsvorgang werden folgende Werte ermittelt:

      \( V \) in \( cm^3 \)	33,60	30,00	25,00	20,00	15,00	10,00	5,00	3,36
      \( p \) in \( 10^5 Pa \)	1,00	1,17	1,51	2,07	3,09	5,46	14,40	25,12

      Zeichnen Sie das p(V) - Diagramm und ermitteln Sie aus der grafischen Darstellung die beim Zusammendrücken zugeführte Arbeit.

      Weisen Sie nach, dass bei der Kompression der Luft die Zündtemperatur des Äthers überschritten wird. Nehmen Sie dazu an, dass es sich um ein zweiatomiges Gas handelt.

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