Der schräge Wurf

1. Schräge Würfe werden in der Physik häufig idealisiert und mithilfe einer Wurfparabel beschrieben.

   Zeigen Sie, dass die Wurfbahn eines mit der Anfangsgeschwindigkeit \( v_0 \) unter dem Winkel \( \alpha \) zur Horizontalen aus der Höhe \( y_0 \) schräg nach oben abgeworfenen Körpers mit der Gleichung

   $$ y(x) = - \dfrac{g}{ 2 \cdot (v_0)^2 \cdot (\cos \alpha)^2 } \cdot x^2 + (\tan \alpha) \cdot x + y_0 $$

   beschrieben werden kann. Gehen Sie dabei von den Teilbewegungen x(t) und y(t) aus.

   Geben Sie bei Ihrer Herleitung die idealisierten Voraussetzungen an.

   Herleitung

   Der abgeworfene Körper führt in X-Richtung eine gleichförmige Bewegung durch:

   $$ x(t) = v_x \cdot t $$

   In Y-Richtung wird hingegen eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung durchgeführt.

   $$ y(t) = -\dfrac{g}{2} \cdot t^2 + v_y \cdot t + y_0 $$

   Nun stellt man die Gleichung für die Bewegung in X-Richtung nach \( t \) um und setzt sie in die zweite Gleichung ein:

   $$ x(t) = v_x \cdot t \qquad \Rightarrow \qquad t = \dfrac{x}{v_x} $$ \begin{aligned} y(t) &= -\dfrac{g}{2} \cdot (\dfrac{x}{v_x})^2 + v_y \cdot \dfrac{x}{v_x} + y_0 \\ \\ y(t) &= -\dfrac{g}{2 \cdot (v_x)^2} \cdot x^2 + \dfrac{v_y}{v_x} \cdot x + y_0 \\ \end{aligned}

   Anhand der Skizze erkennt man:

   $$ \tan \alpha = \dfrac{v_y}{v_x} $$ $$ v_x = v_0 \cdot \cos \alpha $$ $$ v_y = v_0 \cdot \sin \alpha $$

   So kann man die obige Gleichung weiter vereinfachen und erhält die zu beweisende Gleichung:

   \begin{aligned} y(t) &= -\dfrac{g}{2 \cdot (v_x)^2} \cdot x^2 + \dfrac{v_y}{v_x} \cdot x + y_0 \\ \\ y(t) &= -\dfrac{g}{2 \cdot (v_0)^2 \cdot (\cos \alpha)^2} \cdot x^2 + (\tan \alpha) \cdot x + y_0 \\ \end{aligned}

   Idealisierte Bedingungen

   Es können z.B. folgende Bedingungen genannt werden:

   • Der Luftwiderstand wird vernachlässigt.
   • Es wird angenommen, dass kein Wind herrscht.
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2. Bei der Herstellung hochwertiger Kugellager ist die Güte der Stahlkugeln ein Kriterium für die Haltbarkeit eines solchen Lagers. Die vorschriftsmäßige Beschaffenheit soll nah an eine geometrisch ideale Kugel herankommen. Für eine mögliche Sortierung wird die abgebildete Einrichtung vorgeschlagen (Bild 1). Hierbei fallen die zunächst ruhenden Stahlkugeln aus einer Höhe von \( h_1 = 35,0 \,\, cm \) auf eine um \( \beta = 20^\circ \) gegen die Horizontale geneigte Stahlplatte und springen dann bei akzeptabler Kugelform durch die Öffnung in einer Wand. Die fehlerhaften Kugeln erreichen diese Öffnung nicht und werden auf diese Weise aussortiert. Der Abstand vom Reflexionspunkt zur Wand beträgt \( e = 25,0 \,\, cm \) und dieser Punkt hat die Höhe \( h_2 = 4,0 \,\, cm \). Bei dem Stoß gehen der Kugel neun Prozent der mechanischen Energie verloren.

   Berechnen Sie die Höhe \( y_W \) der Öffnung in der Wand.

   Während die Kugel fällt, wird ihre potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt. Beim Auftreffen auf der schiefen Ebene beträgt die kinetische Energie der Kugel daher:

   $$ E_\rm{kin} = \Delta E_\rm{pot} = m \cdot g \cdot h_1 $$

   Da bei dem Stoß mit der Ebene neun Prozent der Energie verloren gehen, hat die Kugel danach 91 Prozent ihrer vorherigen Energie.

   $$ E_\rm{kin, 2} = 0,91 \cdot E_\rm{kin} = 0,91 \cdot m \cdot g \cdot h_1 $$

   Nun kann aus der kinetischen Energie die Geschwindigkeit \( v_0 \) bestimmt werden, mit der die Kugel von der Ebene abprallt.

   \begin{aligned} E_\rm{kin, 2} &= 0,91 \cdot m \cdot g \cdot h_1 \\ \\ \dfrac{\cancel m}{2} \cdot (v_0)^2 &= 0,91 \cdot \cancel m \cdot g \cdot h_1 \qquad | \, \cdot 2 \\ \\ (v_0)^2 &= 1,82 \cdot g \cdot h_1 \\ \\ v_0 &= \sqrt{ 1,82 \cdot g \cdot h_1 } \\ \\ \end{aligned}

   Anhand der nebenstehenden Skizze erkennt man, dass die Kugel mit dem Winkel \( \beta \) relativ zur Oberfläche der schiefen Eben autrifft.

   Nach der Regel Einfallswinkel = Ausfallswinkel, erhält man für den Abprallwinkel \( \alpha \) der Kugel relativ zur Horizontalen:

   $$ \alpha = 90^\circ - 2 \cdot \beta = 90^\circ - 2 \cdot 20^\circ = 50^\circ $$

   Die Höhe der Kugel kann nun mit der gegebenen Gleichung für die Wurfparabel berechnet werden.

   \begin{aligned} y(x) &= - \dfrac{g}{ 2 \cdot (v_0)^2 \cdot (\cos \alpha)^2 } \cdot x^2 + (\tan \alpha) \cdot x + y_0 \\ \\ y_W = y(e) &= - \dfrac{\cancel g}{ 2 \cdot 1,82 \cdot \cancel g \cdot h_1 \cdot (\cos \alpha)^2 } \cdot e^2 + (\tan \alpha) \cdot e + y_0 \\ y_W &= - \dfrac{1}{ 3,64 \cdot h_1 \cdot (\cos \alpha)^2 } \cdot e^2 + (\tan \alpha) \cdot e + y_0 \\ y_W &= - \dfrac{1}{ 3,64 \cdot 0,35 \,\, m \cdot (\cos 50^\circ)^2 } \cdot (0,25 \,\, m)^2 + (\tan 50^\circ) \cdot 0,25 \,\, m + 0,04 \,\, m \\ \\ y_W &= 0,219 \,\, m = 21,9 \,\, cm \end{aligned}
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