Der schräge Wurf

1. Schräge Würfe werden in der Physik häufig idealisiert und mithilfe einer Wurfparabel beschrieben.

   Zeigen Sie, dass die Wurfbahn eines mit der Anfangsgeschwindigkeit \( v_0 \) unter dem Winkel \( \alpha \) zur Horizontalen aus der Höhe \( y_0 \) schräg nach oben abgeworfenen Körpers mit der Gleichung

   $$ y(x) = - \dfrac{g}{ 2 \cdot (v_0)^2 \cdot (\cos \alpha)^2 } \cdot x^2 + (\tan \alpha) \cdot x + y_0 $$

   beschrieben werden kann. Gehen Sie dabei von den Teilbewegungen x(t) und y(t) aus.

   Geben Sie bei Ihrer Herleitung die idealisierten Voraussetzungen an.

   Herleitung

   Der abgeworfene Körper führt in X-Richtung eine gleichförmige Bewegung durch:

   $$ x(t) = v_x \cdot t $$

   In Y-Richtung wird hingegen eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung durchgeführt.

   $$ y(t) = -\dfrac{g}{2} \cdot t^2 + v_y \cdot t + y_0 $$

   Nun stellt man die Gleichung für die Bewegung in X-Richtung nach \( t \) um und setzt sie in die zweite Gleichung ein:

   $$ x(t) = v_x \cdot t \qquad \Rightarrow \qquad t = \dfrac{x}{v_x} $$ \begin{aligned} y(t) &= -\dfrac{g}{2} \cdot (\dfrac{x}{v_x})^2 + v_y \cdot \dfrac{x}{v_x} + y_0 \\ \\ y(t) &= -\dfrac{g}{2 \cdot (v_x)^2} \cdot x^2 + \dfrac{v_y}{v_x} \cdot x + y_0 \\ \end{aligned}

   Anhand der Skizze erkennt man:

   $$ \tan \alpha = \dfrac{v_y}{v_x} $$ $$ v_x = v_0 \cdot \cos \alpha $$ $$ v_y = v_0 \cdot \sin \alpha $$

   So kann man die obige Gleichung weiter vereinfachen und erhält die zu beweisende Gleichung:

   \begin{aligned} y(t) &= -\dfrac{g}{2 \cdot (v_x)^2} \cdot x^2 + \dfrac{v_y}{v_x} \cdot x + y_0 \\ \\ y(t) &= -\dfrac{g}{2 \cdot (v_0)^2 \cdot (\cos \alpha)^2} \cdot x^2 + (\tan \alpha) \cdot x + y_0 \\ \end{aligned}

   Idealisierte Bedingungen

   Es können z.B. folgende Bedingungen genannt werden:

   • Der Luftwiderstand wird vernachlässigt.
   • Es wird angenommen, dass kein Wind herrscht.
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2. In einer Sporthalle mit einer Deckenhöhe von \( h_\rm{Decke} = 7,5 \,\, m \) wird eine Wurfmaschine für Tennisbälle getestet (Bild 1). Der vorher eingestellte Wert für die Abwurfgeschwindigkeit beträgt \( v_0 = 45 \,\, \frac{km}{h} \). Der Abwurfwinkel \( \alpha \) ist frei wählbar. Die Abwurfhöhe des Gerätes wird mit \( h_0 = 40 \,\, cm \) als konstant angenommen. Für den Test der Genauigkeit wird ein Sensor in einer Höhe \( h_1 = 3,0 \,\, m \) an der Wand montiert, welcher das Auftreffen des Tennisballs registriert. Der Abwurf erfolgt im Abstand \( s = 6,5 \,\, m \) von der Wand.

   Berechnen Sie den an der Wurfmaschine einzustellenden Abwurfwinkel \( \alpha \), so dass der Ball den Sensor unter den vorher festgelegten Bedingungen treffen kann.

   Nutzen Sie dazu die Beziehung: \( \dfrac{1}{ (\cos \alpha)^2 } = 1 + (\tan \alpha)^2\)

   Zunächst wird die Bahngleichung aufgestellt. Dabei ist \( y_0 \) gleich der Abwurfhöhe \( h_0 \) und die Höhe \( h_1 \) am Sensor gleich \( y(s) \).

   $$ h_1 = y(s) = - \dfrac{g}{ 2 \cdot (v_0)^2 \cdot (\cos \alpha)^2 } \cdot s^2 + (\tan \alpha) \cdot s + h_0 $$

   Aus der angegebenen Beziehung folgt:

   $$ h_1 = - \dfrac{g \cdot s^2 \cdot (1+ (\tan \alpha)^2)}{ 2 \cdot (v_0)^2 } + (\tan \alpha) \cdot s + h_0 $$

   Das Ziel ist es nun auf diese Gleichung die pq-Formel anzuwenden. Dafür müssen zunächst \( h_1 \) auf die rechte Seite, damit die linke Seite \( 0 \) ist. Außerdem wird der erste Bruch geteilt:

   $$ 0 = - \dfrac{g \cdot s^2}{ 2 \cdot (v_0)^2 } - \dfrac{g \cdot s^2 \cdot (\tan \alpha)^2}{ 2 \cdot (v_0)^2 } + (\tan \alpha) \cdot s - h_1 + h_0 $$

   Als nächstes wird nach Potenzen von \( \tan \alpha \) sortiert und die Substitution \( z = \tan \alpha \) durchgeführt.

   $$ 0 = - \dfrac{g \cdot s^2}{ 2 \cdot (v_0)^2 } \cdot (\tan \alpha)^2 + s \cdot (\tan \alpha) - h_1 + h_0 - \dfrac{g \cdot s^2}{ 2 \cdot (v_0)^2 } $$ $$ z = \tan \alpha $$ $$ 0 = - \dfrac{g \cdot s^2}{ 2 \cdot (v_0)^2 } \cdot z^2 + s \cdot z - h_1 + h_0 - \dfrac{g \cdot s^2}{ 2 \cdot (v_0)^2 } $$

   Diese quadratische Gleichung muss nun in die Normalsform gebracht werden. Dafür muss der Faktor vor \( z^2 \) entfernt werden.

   \begin{aligned} 0 &= - \dfrac{g \cdot s^2}{ 2 \cdot (v_0)^2 } \cdot z^2 + s \cdot z - h_1 + h_0 - \dfrac{g \cdot s^2}{ 2 \cdot (v_0)^2 } \, | \, \cdot -\dfrac{2 \cdot (v_0)^2}{g \cdot s^2} \\ \\ 0 &= z^2 + \dfrac{2 \cdot (v_0)^2}{g \cdot s} \cdot z + h_1 \cdot \dfrac{2 \cdot (v_0)^2}{g \cdot s^2} - h_0 \cdot \dfrac{2 \cdot (v_0)^2}{g \cdot s^2} + 1 \\ \\ 0 &= z^2 + \dfrac{2 \cdot (v_0)^2}{g \cdot s} \cdot z + \left( \dfrac{2 \cdot (v_0)^2}{g \cdot s^2} \cdot (h_1 - h_0) + 1 \right) \\ \\ \end{aligned}

   Nach der pq-Formel gilt nun:

   $$ x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{ \left( \dfrac{p}{2} \right) - q } $$

   Mit:

   $$ 0 = z^2 + \underset{\text{p}}{\underbrace{ \dfrac{2 \cdot (v_0)^2}{g \cdot s} }} \cdot z + \underset{\text{q}}{\underbrace{ \left( \dfrac{2 \cdot (v_0)^2}{g \cdot s^2} \cdot (h_1 - h_0) + 1 \right) }} $$

   Es ergibt sich:

   $$ z_{1,2} = \dfrac{(v_0)^2}{g \cdot s} \pm \sqrt{ \dfrac{(v_0)^4}{g^2 \cdot s^2} - \left( \dfrac{2 \cdot (v_0)^2}{g \cdot s^2} \cdot (h_1 - h_0) + 1 \right) } $$

   Man setzt nun die folgenden Werte ein:

   \begin{aligned} h_0 &= 40 \,\, cm = 0,40 \,\, m \\ \\ h_1 &= 3,0 \,\, m \\ \\ s &= 6,5 \,\, m \\ \\ v_0 &= 45 \,\, \frac{km}{h} = 12,5 \,\, \frac{m}{s} \\ \end{aligned}
   $$ z_{1,2} = \dfrac{(12,5 \frac{m}{s})^2}{9,81 \,\, \frac{m}{s^2} \cdot 6,5 \,\, m} \pm \sqrt{ \dfrac{(12,5 \frac{m}{s})^4}{(9,81 \,\, \frac{m}{s^2})^2 \cdot (6,5 \,\, m)^2} - \left( \dfrac{2 \cdot (12,5 \frac{m}{s})^2}{9,81 \,\, \frac{m}{s^2} \cdot (6,5 \,\, m)^2} \cdot (3,0 \,\, m - 0,40 \,\, m) + 1 \right) } $$

   Die Rücksubstitution ergibt zwei mögliche Lösungen für \( \alpha \):

   \begin{aligned} z_1 &\approx 4,195 \qquad \Rightarrow \qquad \tan \alpha_1 \approx 4,195 \qquad \Rightarrow \qquad \alpha_1 \approx 76,6^\circ \\ \\ z_2 &\approx 0,706 \qquad \Rightarrow \qquad \tan \alpha_2 \approx 0,706 \qquad \Rightarrow \qquad \alpha_2 \approx 35,2^\circ \\ \end{aligned}

   Theoretisch würde der Sensor bei beiden Abwurfwinkeln getroffen werden. Praktisch kann aber die geringe Deckenhöhe ein Problem sein. Daher wird nun die maximale Wurfhöhe für beide Winkel berechnet.

   Mit der folgenden Formel aus der Formelsammlung ergibt sich:

   $$ h_\rm{max} = \dfrac{(v_0)^2 \cdot (\sin \alpha )^2}{2 \,\, g} + h_0 $$
   \begin{aligned} h_\rm{max, 1} &= \dfrac{(v_0)^2 \cdot (\sin \alpha_1 )^2}{2 \,\, g} + h_0 = \dfrac{(12,5 \frac{m}{s})^2 \cdot (\sin 76,6^\circ)^2}{2 \,\, 9,81 \,\, \frac{m}{s^2}} + 0,40 \,\, m = 7,94 \,\, m \\ \\ h_\rm{max, 2} &= \dfrac{(v_0)^2 \cdot (\sin \alpha_2 )^2}{2 \,\, g} + h_0 = \dfrac{(12,5 \frac{m}{s})^2 \cdot (\sin 35,2^\circ)^2}{2 \,\, 9,81 \,\, \frac{m}{s^2}} + 0,40 \,\, m = 3,05 \,\, m \\ \end{aligned}

   Die Lösung \( \alpha_1 = 76,6^\circ \) fällt weg, da \( h_\rm{max, 1} > h_\rm{Decke} \).

   Die richtige Einstellung für den Abwurfwinkel der Wurfmaschine ist also \( \alpha_2 = 35,2^\circ \).

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