Kondensator

  • Kondensator (3:40 Minuten)
Einige Videos sind leider bis auf weiteres nicht verfügbar.

Einleitung

Kondensatoren sind passive elektrische Bauelemente mit der Fähigkeit, elektrische Ladung und damit zusammenhängend Energie zu speichern.

Funktionsweise

ResetStart

Links ist ein Schema eines Plattenkondensators. Dieser besteht aus zwei Metallplatten, welche durch einen Isolator, dem sogenannten Dielektrikum, (z.B. Luft oder Keramik) getrennt sind.

Wird der Kondensator aufgeladen, d.h. es werden z.B. durch eine Spannungsquelle gegensätzliche Ladungen auf die Platten gebracht, so wird ein elektrisches Feld aufgebaut. In diesm Feld wird die Energie die zum Aufladen des Kondensators aufgebracht wurde, gespeichert.

Jeder Kondensator hat eine maximale Spannungsfestigkeit, die bestimmt mit wieviel Spannung der Kondensator belastet werden darf. Wird er mit zu hoher Spannung belastet, so schlägt er durch, d.h. das Dielektrikum wird beschädigt und die Metallplatten werden kurzgeschlossen.

Kapazität \( C \)

Die Kapazität eines Kondensators gibt an, wieviel Ladung ein Kondensator bei einer Spannung von \( 1   V \) speichern kann und wird in Farad angegeben. Sie berechnet sich wie folgt:

$$ C = \dfrac{Q}{U} \qquad \qquad \mathrm{Einheiten:} \qquad \left[ 1   F = \dfrac{1   C}{1   V} \right] $$

Hat ein geladener Kondensator bei der Spannung \( U_1 = 5   V \) die Ladung \( Q_1 = 5 \cdot 10^{-4} C \), so hat er eine Kapazität von:

$$ C = \dfrac{Q_1}{U_1} = \dfrac{5 \cdot 10^{-4}   C}{5   V} = 10^{-4}   F = 100   \mu F $$
Berechnung über Plattenfläche und -Abstand

Die Kapazität eines Plattenkondensators hängt stark von der Fläche \( A \) der Platten und ihrem Abstand \( d \) ab. Je größer \( A \) und je kleiner \( d \), umso größer ist die Kapazität \( C \).

Außerdem ist es für die Kapazität relevant, welches Dielektrikum verwendet wird. Die Dielektrizitätszahl \( \epsilon_r \), gibt an um welchen Faktor sich die Speicherfähigkeit eines Kondensators durch Einsatz des Dielektrikums erhöht. Für Luft gilt \( \epsilon_r = 1 \). Spezielle keramische Werkstoffe hingegen erhöhen die Speicherfähigkeit eines Kondensators um den Faktor \( 100 - 10 \, 000 \).

$$ C = \epsilon_0 \cdot \epsilon_r \cdot \dfrac{A}{d} $$ \( \epsilon_0 \) = elektrische Feldkonstante, \( \epsilon_r \) = Dielektrizitätszahl, \( A \) = Fläche, \( d \) = Abstand

Dielektrizitätszahlen einiger Werkstoffe:

Stoff \( \epsilon_r \) Stoff \( \epsilon_r \)
Bernstein 2,8 Polystyrol 2,6
Glas 5 ... 16 Porzellan 4,5 ... 6,5
Hartpapier 3,5 ... 5 Transformatorenöl 2,5
Spezielle keramische 100 ... 10.000 Vakuum 1
Luft 1,0006 Wasser 81
Paraffin 2,3

Feldenergie \( E \)

Während des Aufladevorgangs wird den Kondensatorplatten Ladung hinzugefügt. Dabei wird ein elektrisches Feld aufgebaut, dessen Energie durch jede Ladungsänderung \( \Delta Q \) erhöht wird. Es gilt:

$$ \Delta E_i = \Delta Q \cdot U_i $$

Durch Addition dieser Teilenergien, erhält man die Gesamtenergie des elektrischen Feldes. In diesem Fall gilt:

$$ E = \dfrac{1}{2} \cdot Q \cdot U $$
und mit \( Q = C \cdot U \)

$$ E = \dfrac{1}{2} \cdot C \cdot U^2 $$

Lade- / Entladevorgang

Das folgende Experiment besteht aus einer Spannungsquelle, einem Widerstand und einem Kondensator und einem Schalter, welcher die Verbindung zur Spannungsquelle steuert. Je nach Schalterstellung wird der Kondensator durch die Spannungsquelle aufgeladen oder entlädt sich. (Simulation starten und dann auf den Schalter klicken, um zwischen Lade- und Entladevorgang zu wechseln.)

ResetStart

Beim Ladevorgang nimmt die Spannung zunächst schnell zu und steigt dann immer langsamer. Dies liegt daran, dass das im Kondensator enstehende elektrische Feld dem Ladevorgang entgegen wirkt. Mit steigender Spannung des Kondensators wird also zunehmend mehr Energie für eine weitere Spannungserhöhung benötigt.

Nach dem Ladevorgang ist die gesamte Energie als Feldenergie gespeichert. Beim Entladen wird diese wieder frei.

Beim Entladevorgang nimmt die Spannung zunächst schnell ab und sinkt dann immer langsamer. Dies liegt daran, dass das im Kondensator bestehende elektrische Feld beim Entladen immer schwächer wird.

Berechnung

Während des Ladevorgangs eines Kondensators lassen sich Spannungs- und Stromverlauf durch folgende e-Funktionen beschreiben:

$$ U_{\mathrm{C}} (t) = U_0 \cdot \left(1 - e^{- \frac{t}{\tau}} \right) = U_0 \cdot \left( 1 - e^{- \frac{t}{R_{\mathrm{C}} \cdot C}} \right) $$ $$ I_{\mathrm{C}} (t) = \dfrac{U_0}{R_{\mathrm{C}}} \cdot e^{- \frac{t}{\tau}} = I_0 \cdot e^{- \frac{t}{R_{\mathrm{C}} \cdot C}} $$

Während des Entladevorgangs eines Kondensators gilt:

$$ U_{\mathrm{C}} (t) = U_0 \cdot e^{- \frac{t}{\tau}} = U_0 \cdot e^{- \frac{t}{R_{\mathrm{C}} \cdot C}} $$ $$ I_{\mathrm{C}} (t) = -\dfrac{U_0}{R_{\mathrm{C}}} \cdot e^{- \frac{t}{\tau}} = -I_0 \cdot e^{- \frac{t}{R_{\mathrm{C}} \cdot C}} $$
Zeitkonstante \( \tau \)

Die Zeitkonstante \( \tau \) berechnet sich wie folgt:

$$ \tau = R_{\mathrm{C}} \cdot C $$

Für die Werte im obigen Animation ergibt sich:

$$ \tau = R_{\mathrm{C}} \cdot C = 1000   k \omega \cdot 2   \mu F = 2 s $$

  \( t \) \( U_{\mathrm{C}} \)
\( 1 \cdot \tau \) \( 0,632 \cdot U_0 \)
\( 2 \cdot \tau \) \( 0,865 \cdot U_0 \)
\( 3 \cdot \tau \) \( 0,950 \cdot U_0 \)
\( 4 \cdot \tau \) \( 0,982 \cdot U_0 \)
\( 5 \cdot \tau \) \( 0,993 \cdot U_0 \)

Nach einer Ladezeit von \( \tau \) erreicht ein Kondensator eine Spannung in Höhe von \( 0,632 \cdot U_0 \) und nach einer Ladezeit von rund \( 0,69 \cdot \tau \) hat er bereits 50% seiner endgültigen Spannung erreicht. Nach einer Ladezeit von \( t_{\mathrm{C}} \approx 5 \tau \) ist er zu rund 99 % aufgeladen, daher nimmt man in der Praxis an, dass er nach dieser Zeit voll aufgeladen ist.

Der Kondensator in der obigen Animation, ist also nach ca. \( t_{\mathrm{C}} \approx 5 \cdot \tau = 5 \cdot 2   s = 10   s \) aufgeladen, was man auch am Graphen erkennen kann.

Bestimmung der vergangenen Ladezeit

Um die Lade- / Entladezeit bis zu einer bestimmten Spannung zu bestimmen, stellt man die Lade- / Entladeformeln nach \( t \) um.

\begin{aligned} U &= U_0 \cdot \left(1 - e^{- \frac{t}{\tau}} \right) \\ & \\ \dfrac{U}{U_0} &= 1 - e^{- \frac{t}{\tau}} \\ & \\ \dfrac{U}{U_0} - 1 &= - e^{- \frac{t}{\tau}} \\ & \\ 1 - \dfrac{U}{U_0} &= e^{- \frac{t}{\tau}} \\ & \\ \ln \left( 1 - \dfrac{U}{U_0} \right) &= - \frac{t}{\tau} \\ & \\ - \tau \cdot \ln \left( 1 - \dfrac{U}{U_0} \right) &= t \\ \end{aligned}

Quellen

Literatur