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Gedämpfte Schwingung

Versuch: Federpendel

Ein Gewicht (oranger Kasten) hängt an einer Feder. Wird es nach unten gezogen und dann losgelassen, beginnt es auf und ab zu schwingen.

Links: Schwingung mit Reibung
Durch Reibung verliert die Schwingung an Energie, dadurch pendelt das Gewicht immer näher um die Ruhelage herum und hört schließlich auf zu schwingen.

Rechts: Schwingung ohne Reibung
Das Gewicht pendelt gleichmäßig um die Ruhelage.

Wir haben uns in dem Kapitel "Harmonische Schwingung" mit der Schwingung ohne Reibung beschäftigt. Nun ist die gedämpfte Schwingung dran.

Energieverlust durch Reibung

Physikalische Systeme geben z.B. durch Reibung immer Energie an ihre Umgebung ab. Man bezeichnet sie daher als gedämpft. Überlässt man ein solches System sich selbst, so führt das letztendlich zum Stillstand. Perpetua Mobilia sind also nicht möglich (siehe Energieerhaltungssatz).

Anwendung auf das Federpendel

Ein Großteil der Schwingungsenergie des Federpendels wird beim Verformen der Feder in thermische Energie umgewandelt. Aber auch die Luftreibung kann (je nach Querschnitt des Gewichts) eine Rolle spielen.

Verallgemeinerung

Die meisten gedämpften Schwingungen kann man mit der Hilfe einer Dämpfungskonstante \( \delta \) (auch Abklingkoeffizent genannt) beschreiben. Diese gibt an wie stark die Schwingung gedämpft ist.

Wenn man sich anschaut wie die Dämpfungskonstante in die Schwingunsgleichung eingebaut wird, sieht man, dass er die Sinusfunktion an sich nicht verändert, sondern lediglich die Amplitude.

\begin{aligned} s_{harmonisch}(t) & = \underset{\text{Amplitude}}{\underbrace{\hspace{1em} s_0 \hspace{1em}}} \cdot \sin (\omega t + \phi_0) \\ & \\ s_{gedämpft}(t) & = \underset{\text{Amplitude}}{\underbrace{  s_0 \cdot e^{-\delta t}  }} \cdot \sin (\omega t + \phi_0) \\ \end{aligned}

Amplitudenfunktion

Man bezeichnet den ersten Teil der Schwingungsgleichung auch als Amplitudenfunktion: $$ \hat{s}(t) = s_0 \cdot e^{-\delta t} $$

Links:
Die Amplitudenfunktion für verschiedene \( \delta \) (in grau).
Man erkennt gut, wie die Amplitude exponentiell abnimmt.

Sonderfall \( \delta = 0 \):
Die Schwingung ist ungedämpft -> harmonisch.

Beispiel 1:
\( s_0 = 2   m \),  \( f = \frac{1}{5}   Hz \) und \( \phi_0 = 0 \) und \( \delta = 0,1 \)

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Berechnung der Dämpfungskonstante

Wenn man den Graphen einer Schwingung oder eine Wertetabelle mit den Amplituden hat, kann man die Dämpfungskonstante berechnen.

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Wertetabelle:

# Zeit \( t \) Amplitude \( \hat{s}(t) \)
1 1,25 \( s \) 1,76 \( m \)
2 6,25 \( s \) 1,07 \( m \)
3 11,25 \( s \) 0,65 \( m \)
4 16,25 \( s \) 0,39 \( m \)
5 21,25 \( s \) 0,24 \( m \)
6 26,25 \( s \) 0,14 \( m \)

Berechnung mit bekannter Anfangsamplitude \( s_0 \) und Amplitude #2:

\( s_0 = 2   m \), \( t_2 = 6,25   s \) und \( \hat{s}_2 = 1,07   m \)
\begin{aligned} \hat{s}(t) & = s_0 \cdot e^{-\delta t} \\ & \\ \hat{s}_2 & = s_0 \cdot e^{-\delta t_2} \\ & \\ \dfrac{\hat{s}_2}{s_0} & = e^{-\delta t_2} \\ & \\ \ln \left( \dfrac{\hat{s}_2}{s_0} \right) & = -\delta t_2 & \\ \ln \left( \dfrac{\hat{s}_2}{s_0} \right) / t_2 & = -\delta & \\ -\ln \left( \dfrac{\hat{s}_2}{s_0} \right) / t_2 & = \delta & \\ 0.1 & = \delta \end{aligned}
Berechnung mit zwei Tabellenwerten:

\( t_2 = 6,25   s \), \( \hat{s}_2 = 1,07   m \), \( t_3 = 11,25   s \) und \( \hat{s}_3 = 0,65   m \)

\begin{eqnarray} I & \hat{s}_2 & = s_0 \cdot e^{-\delta t_2} \\ II & \hat{s}_3 & = s_0 \cdot e^{-\delta t_3} \\ \end{eqnarray}

Gleichung \( I \) / \( II \):
\begin{aligned} \dfrac{\hat{s}_2}{\hat{s}_3} & = \cancel{\dfrac{s_0}{s_0}} \cdot \dfrac{e^{-\delta t_2}}{e^{-\delta t_3}} \\ & \\ \dfrac{\hat{s}_2}{\hat{s}_3} & = e^{-\delta (t_2 - t_3)} \\ & \\ \ln \left( \dfrac{\hat{s}_2}{\hat{s}_3} \right) & = -\delta (t_2 - t_3) & \\ \ln \left( \dfrac{\hat{s}_2}{\hat{s}_3} \right) / (t_2 - t_3) & = -\delta & \\ -\ln \left( \dfrac{\hat{s}_2}{\hat{s}_3} \right) / (t_2 - t_3) & = \delta & \\ 0.1 & = \delta \end{aligned}

Quellen

Literatur

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